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1、立体几何大题练习（文科）：1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD底面ABCD（ 1）求证：平面SBD平面SAD；（ 2）若SDA=120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面SAB的面积【剖析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判断定理可得BD平面SAD，运用面面垂直的判断定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可获得所求值【解答】（1）证明：在梯形ABC
2、D中，ABDC，ABC=90，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，BCD=90，可得BD=a，CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得AD=a，则BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；（ 2）解：SDA=120，且三棱锥SBCD的体积为，由AD=SD=a，在SAD中，可得SA=2SDsin60=a， SAD的边AD上的高SH=SDsin60，=a由SH平面BCD，可得 a，a2=解得a=1，由 BD平面SAD，可得BDSD，SB=2a，又 AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则SA
3、B的面积为SAa=a=第1页（共9页）【评论】此题考察面面垂直的判断定理的运用，注意运用转变思想，考察三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（ 2）ADAC【剖析】（1）利用ABEF及线面平行判断定理可得结论；（2）经过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，利用线面垂直的性质定理可知FGAD，联合线面垂直的判断定理可知AD平面EFG，从而可得结论【解答】证明：（1）由于ABAD，EFAD，且A、
4、B、E、F四点共面，因此ABEF，又由于EF平面ABC，AB平面ABC，因此由线面平行判断定理可知：EF平面ABC；（ 2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，由于BCBD，FGBC，因此FGBD，又由于平面ABD平面BCD，因此FG平面ABD，因此FGAD，又由于ADEF，且EFFG=F，因此AD平面EFG，因此ADEG，故ADAC【评论】此题考察线面平行及线线垂直的判断，考察空间想象能力，考察转变思想，波及线面平行判断定理，线面垂直的性质及判断定理，注意解题方法的累积，属于中档题3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACCB，点M和N分别是B1C1
5、和BC的中点第2页（共9页）（ 1）求证：MB平面AC1N；（ 2）求证：ACMB【剖析】（1）证明MC1NB为平行四边形，因此C1NMB，即可证明MB平面AC1N；（ 2）证明AC平面BCC1B1，即可证明ACMB【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，由于点M，N分别是B1C1，BC的中点，因此C1MBN，C1M=BN因此MC1NB为平行四边形因此C1NMB由于C1N平面AC1N，MB平面AC1N，因此MB平面AC1N；（ 2）由于CC1底面ABC，因此ACCC1由于ACBC，BCCC1=C，因此AC平面BCC1B1由于MB平面BCC1B1，因此ACMB【评论】此题考察线面
6、平行的判断，考察线面垂直的判断与性质，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD， ADC=90，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点（）证明：PA平面BMQ；（）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离【剖析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只需证明MNPA，利用线面平行的判断定理可证；（ 2）由（1）可知，PA平面BMQ，因此点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离第3页（共9页）【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，由于ADC=90，Q为AD的中点，因此N为AC的中点（
7、2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为PAC的中位线，故MNPA，又MN平面BMQ，因此PA平面BMQ（5分）（ 2）由（1）可知，PA平面BMQ，因此点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，因此VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取CD的中点K，连结MK，因此MKPD，（7分）又PD底面ABCD，因此MK底面ABCD又，PD=CD=2，因此AQ=1，BQ=2，（10分）因此VPBMQ=VABMQ=VMABQ=.，（11分）则点P到平面BMQ的距离d=（12分）【评论】此题考察了线面平行的判断定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中
8、，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（ 1）求证：B1C1平面A1DE；（ 2）求证：平面A1DE平面ACC1A1【剖析】（1）证明B1C1DE，即可证明B1C1平面A1DE；（ 2）证明DE平面ACC1A1，即可证明平面A1DE平面ACC1A1【解答】证明：（1）由于D，E分别是AB，AC的中点，因此DEBC，（2分）又由于在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，因此B1C1DE（4分）又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，因此B1C1平面A1DE（6分）（ 2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又 DE底面ABC，因此CC1DE（8分）又 BCAC，DEBC，因
9、此DEAC，（10分）又 CC1，AC平面ACC1A1，且CC1AC=C，因此DE平面ACC1A1（12分）又 DE平面A1DE，因此平面A1DE平面ACC1A1（14分）【评论】此题考察线面平行、线面垂直、面面垂直的判断，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题第4页（共9页）6在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC（ 1）求证：PA平面CMN；（ 2）求证：AM平面PBC【剖析】（1）推导出MNAD，PCAD，ADAC，从而AD平面PAC，从而ADPA，MNPA，再由CNPA，能证明PA平面CMN（ 2）取CD的中点为
10、Q，连结MQ、AQ，推导出MQPC，从而MQ平面PBC，再求出AQ平面，从而平面AMQ平面PCB，由此能证明AM平面PBC【解答】证明：（1）M，N分别为PD、PA的中点，MN为PAD的中位线，MNAD， PC底面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面PAC， AD，PAMNPA，又PC=AC，N为PA的中点，CNPA， MNCN=N，MN平面CMN，CM平面CMN， PA平面CMN解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，MQ是PCD的中位线，MQPC，又PC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC， ADAC，ACD=60，ADC=30DAQ=ADC=3
11、0，QAC=ACQ=60， ACB=60，AQBC， AQ平面PBC，BC平面PBC，AQ平面PBC， MQAQ=Q，平面AMQ平面PCB， AM平面AMQ，AM平面PBC【评论】此题考察线面垂直、线面平行的证明，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系，考察推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考察化归与转变思想、数形联合思想、第5页（共9页）函数与方程思想，是中档题7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且 PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：面PAB平面PDC【剖析】（1）连结AC，则F是A
12、C的中点，E为PC的中点，证明EFPA，利用直线与平面平行的判断定理证明EF平面PAD；（2）先证明CDPA，而后证明PAPD利用直线与平面垂直的判断定理证明PA平面PCD，最后依据面面垂直的判断定理即可获得面PAB面PDC【解答】证明：（1）连结AC，由正方形性质可知，AC与BD订交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点因此在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，因此EF平面PAD；（2）平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又，因此PA2+PD2=AD2因此PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD由于CDPD=D，且CD、PD面PDC因此PA面PDC又PA面PAB，因此面PAB面PDC【评论】此题考察直线与平面垂直的判断，直线与平面平行的判断的应用，考察逻辑推理能力8如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，第6页（共9页）E、F分别为AD、PC中点（ 1）求点F到平面PAB的距离；（ 2）求证：平面PCE平面PBC
