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1、 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷(三)理科数学试题本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。一.选择题(每小题5分,共60分)答案A 解: N=(x,y)|x2+y2=0,xR,yR,则MN=M ,故选A。若集合M=(x,y)|x+y=0,N=(x,y)|x2+y2=0,xR,yR,则有()ABCD C 解:,的虚部为,故选C。已知复数(i为虚数单位),则复数Z的共轭复数的虚部为( ) A B. C.1 D. D 解:对都有,错误;当时,错误;当时,错误;而当时,成立,不成立,正确。下列命题中,真命题是 ( ) A,使得 B C D是的
2、充分不必要条件A 解:第一次进入循环体时;第二次进入循环时;第三次进入循环时,第四次进入循环时,故此时输出,故选A。某程序框图如图,该程序运行后输出的的值是( )A4 B5 C6 D7B 解:作平面区域,易知在满足条件的区域内任取一点,则点满足不等式的概率为( )ABCD B 解:由,且的最小值为可知:,又,则,故可求得的单调递增区间为,故选B。已知函数,若的最小值为,且,则的单调递增区间为( )A. B. C. D. A 解;由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得:则,故选A。中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图所示(单
3、位:寸),若取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的为( )A. 1.6 B. 1.8 C. 2.0 D.2.4D 解:令则,在上递减,由,知可得又为偶函数,所以解集为。定义在上的函数满足,的导函数为,且满足,当时,则使得不等式的解集为( )A B C DD 解:由可知,设等差数列的公差为,则,则,设,的极小值点为,且,故选D。已知等差数列的前项和为,且,则的最小值为( )A -3 B -5 C -6 D -9B 解:由已知得 。点是双曲线右支上一点,分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点,则双曲线离心率为( )A B2 C D3B 解:易知正三棱锥外接球O半径为2. 过点E
4、作三棱锥外接球O的截面,要使截面面积最小当且仅当截面与垂直时. 已知正三棱锥,底面是边长为3的正三角形ABC,点E是线段AB的中点,过点E作三棱锥外接球O的截面,则截面面积的最小值是() A. 3 B C. 2 DB 解:若为整数,则若不为整数,设其中,已知,记表示不超过的最大整数,如,则的值域为( )A B C D二.填空题 (每小题5分,共20分) 解:设与的夹角为,若向量满足,且,则向量与的夹角为 -160 解:易知 令,则,设,则二项式的展开式中常数项是 解:可得,故 过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点,若,则 . 解:,若方程存在两个不同解,则,令,设,则在上单调递增,且,在上单调递
5、增,上单调递减,在上恒成立,若方程存在两个不同解,则,即。若存在正实数,使得关于方程有两个不同的实根,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是 三.解答题解:(1)因为 ,由正弦定理得: 即, .4分在中, ,所以 ,. .6分(2), 得解得: .10分所以的面积 .12分(12分)在中,角所对的边分别为,且.(1)求角;(2)若,点在线段上, , ,求的面积.解:( I)由频率分布直方图可知,年龄段20,30),30,40),40,50),50,60的人数的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15.(1分)因为400.3=12,400.35 =14,400.2=8,400.15 =6,
6、所以年龄段20,30),30,40),40,50),50,60应抽取人数分别为12,14,8,6(2分)()因为各年龄段的中点值分别为25,35,45,55,对应的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15,则250.3+350.35 +450.2+550.15= 37.由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁。(6分)()因为年龄在20,30)的工人数为1200.3=36,从该年龄段任取1人,由表知,此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为,B项培训结业考试成绩优秀的概率为,所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为 (7分)因为年龄段40,50)的工人数为1200.2=24,从该年龄段任取1人
7、,由表知,此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为 ,B项培训结业考试成绩优秀的概率为,所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为(8分)由题设知,X的可能取值为0,1,2其中,(10分)所以X的分布列如下表:X012P所以。(12分)(12分)某工厂有120名工人,其年龄都在20 60岁之间,各年龄段人数按20,30),30,40),40,50),50,60分成四组,其频率分布直方图如下图所示工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备,要求每个工人都要参加A、B两项培训,培训结束后进行结业考试。已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示。假设两项培训是相互独立的,结业考试也互不影响。年龄
8、分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数20,30)271630,40)281840,50)16950,6064(I)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求四个年龄段应分别抽取的人数;()根据频率分布直方图,估计全厂工人的平均年龄;()随机从年龄段20,30)和40,50)中各抽取1人,设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)在三棱柱ABC中,侧面是矩形,AB,(1分)又BC,ABBC=B,平面ABC,AC(2分)又=AC,又,=,平面 ,又平面,平面平面(4分)图1(2)解法一当E为的中点时,连接AE,DE,如图1,取的
9、中点F,连接EF,FD,EFAB,DF,又EFDF=F,AB=A,平面EFD平面,则有DE平面(6分)以 A为坐标原点,AB,AC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为=AC=2AB=4,A(0,0,0),B(2,0,0),(0,4,4),C(0,4,0),E(2,0,2),(0,0,4),由(1)知,=(0,4,4)是平面的一个法向量(7分)设n=(x,y,z)为平面的法向量,=(0,4,4),=(2,0,2),即,令z=1,则x=1,y=1,n=(1,1,1)为平面的一个法向量(10分)设与n的夹角为,则cos =,由图知二面角EB为锐角,二面角EB的余弦值为
10、12分图2解法二当E为的中点时,连接DE,如图2,设交于点G,连接BG,DG,BEDG,四边形DEBG为平行四边形,则DEBG,又DE平面,BG平面,则DE平面求二面角EB的余弦值同解法一(12分)如图,在三棱柱ABC中,侧面是矩形,BAC=90,BC,=AC=2AB=4,且(1)求证:平面平面;(2)设D是的中点,判断并证明在线段上是否存在点E,使得DE平面若存在,求二面角EB的余弦值(1) ,点代入 有:椭圆方程为: 4分(2)存在定点满足条件:设,直线方程为,联立消有 设,则,且 6分 由三点共线有: 8分 11分存在定点满足条件. 12分(12分)已知长轴长为4的椭圆过点,右焦点为。(1)求椭圆的方程;(2)是否存在轴上的定点,使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点,且三点共线?若存在,求点坐标;若不存在,说明理由.解:(1) 1分 由于在上递增得在上恒成立即在上恒成立 2分令,则故在上递减,于是,故有 4分(2)上递增,又,故唯一,使得上递减,在上递增。 6分 8分令 则 上递减 10分当时,由递减知 故即从而有上恒成立。 故时,无实根。 12分 (12分)已知: