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1、数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公 式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注 意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。-.公式法?(+?A?(?+?(1) 等差数列前n项和：？?？二5 5 = ?+ ?(2) 等比数列前n项和：？?= ?寸，？?=?工？时，? ?(? ? ? ? ?(3) 其他公式：？?？二?+ ?+?+? + ?=,?+ ?= ?+ ?+ ?+ ? +t?乍?=?(?+ ?)(? ?)?= ?+ ?+ ?+ ? + ?伊二 Y f ?+ ?例题1:求数列？?，? ?
2、?,?，(?+ ?，的前n项和S解：占八、显的看差数列，把两个S 1-+2 + 3-+., 斗)24 S?=二斗.,+ nbC 十一+ 十2482 1 11_7D.(n 十 D 11 +2 T拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明 出：这个数列可以分解成两个数列，一个等 一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 数列的和再求和。练习:二.倒序相加法如果一个数列a n，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知 识的工具，例如
3、：等差数列前 n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1:设等差数列an，公差为d,求证：an的前n项和S=n(ai+an)/2解：S=ai+a2+a3+.+a n倒序得： S=3n+3n-1+3n-2&1 + 得：2Sn=(a i+an)+(a 2+an-i )+(a 3+an-2)+ +(a n+ai)又ai+an=a2+an-i=a3+an-2=an+ai 2S=n(a2+an)Sn=n(a 计a)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助 ai+an=a2+an-i=a3+an-2=an+ai即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数 列的重要性质来实现
4、的。练习：(1)三.裂项相消法裂项相消法 是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而 求出数列的前n项和。例题3:求数列. 1 1 11 +1-十十 *1 亠21 + 21+2 + -亠九(n N)的和1=2-2(1 解：! 2.A- -!)十21-十X 吒11十1)71 沖十1 1 1 1 1+八+_1 22-3+ 十如+G禽1、2片)=M+ 1点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后, 中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即 若在数列
5、an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的 两边同乘以公比，再与 原式错位相减整理后即可以求出前 n项和。例题4:求数列nan(n N*)的和解：设 S=a+2V+3a3+nan若 a=1 则：S=1+2+3+n=若 al 贝U： aS=a2+2a3+(n-1)an+nan+1 -得：(1-a)S n=a+a+a3+an-nan+1 则：UF 1-a练习：(1)(2)(3)求：？?二?+ ? ? + (? ?-?解: ?= ?+ ? ? + (? ?-?，两边同乘以X，得?= ?+ ?% ?伊 ? + (? ?-得，(？? ? ? = ?+ ?$ ?+ ?+ ? + ? - (?再
6、用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列an满足an+i=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件 下，可把这个式子变成an+1-a n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起， 经过整理，可求出an，从而求出S。例题5:已知数列6,9,14,21,30,其中相邻两项之差成等差数列，求它的前 n项和。角军:-a 2-a i=3,a 3-a 2=5,a 4-a 3=7,.,a n-a n-i =2n-1把各项相加得：an-a 1=3+5+7+(2n-1)=.an=n2-1+a1=n 2+5+5n222 S n=1 +2+n +5n=点拨：本题应用迭加
7、法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了 12+22+n2=(2r + l)因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题 6:求 S=1-2 2+32-42+(-1) n-1 n2(n N*)解：当 n 是偶数时：S=(12-2 2)+(3 2-42)+ +(n -1) 2-n2=-(1+2+ +n)=-n (1 + n j2当 n 是奇数时：S=(12-22)+(3 2-42)+ +(n-2) 2-(n-1) 2+n2=-1+2+ +(n-1)+n 2
8、综上所述：?= (-?)?+?：?(?+ ?)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列，分别求和。练习:(2)作业：1. 已知等差数列?，其前n项和为？?，且？= 9, ?= 35.(1) 求数列?得通项公式；(2) 若?= 2? ?+ n,求数列?的前n项和为？?？(错位相减法)2. 设数列?满足?+ 3?+ 3求数列?扌得通项公式；? 若?=-，求数列?的前n项和为? ?3. 设数列?是等差数列，?毋是各项都为正数的等比数列，且?= ?= 1 ,?+ ?= 21 , ?+ ?= 13.(1) 求数列? , ?得通项公式；(2) 数列診的前n项和为？?？?+ ? + 3?-1 ?= -, n N?.3
