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1、2.1.1 合情推理（1） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备（预习教材P70 P73，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学 学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=
2、13+37, , 100=3+97，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=，1+3+5=9=，1+3+5+7=16=，1+3+5+7+9=25=， 你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， 你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列中，（），试猜想这个数列的通项公式. 动手试试练1.P98.2题。练2. 在
3、数列中，（）,试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结1归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王费马（1601-1665）在1640年通过对，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”
4、，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若，下列说法中正确的是（ ）. A.可以为偶数 B. 一定为奇数 C. 一定为质数 D. 必为合数3.已知 ，猜想的表达式为（ ）. A. B. C. D.4.，经计算得猜测
5、当时，有_.5. 从中得出的一般性结论是_ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.2. 已知数列的前n项和，满足，计算并猜想的表达式.2.1.1 合情推理（2） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备（预习教材P74 P77，找出疑惑之处）1.已知 ，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列的通项公式是 .二、新课导学 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都
6、是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点为圆心，r为
7、半径的圆的方程为例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 动手试试练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？练2. 在中，不等式成立；在四边形
8、ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？ 三、总结提升 学习小结1类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使
9、用类比推理正确的是（ ）. A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ （c0）”D.“” 类推出“3. 设，nN，则 （ ）.A. B.C. D.4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的x的值是 . 课后作业 1. 在等差数列中，若，则有成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求2.1.2 演绎推理 学习目标 1.
10、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程 一、课前准备（预习教材P78 P81，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.复习2：合情推理的结论 .二、新课导学 学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是，所以在一个标准大气压下把水加热到时， ；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断大前提 小前提 结论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提 ；小前提 ；结论 .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式. 典型例题例1 在锐角三
