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1、第十一章 结构动力学？本章的问题：A. 什么是动力荷载？B. 结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C. 本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D. 建立振动微分方程的方法有几种？E. 什么是体系的自振频率、周期？F. 什么是单自由度体系的自由振动？G. 什么是单自由度体系的受迫振动？H. 什么是多自由度体系的自由振动？I. 什么是多自由度体系的受迫振动？J. 什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K. 单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L. 在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？111 概 述 前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇
2、到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。在工程结构中，除了结构
3、自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种： (1) 简谐周期荷载 这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。这类荷载在工程中见的较多。 (2) 冲击荷载 这是指荷载很快地全部作用于结构，而作用时
4、间很短即行消失的荷载，例： 如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。 (3) 突加荷载 在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载，例如粮食口袋卸落在 仓库地板上时就是这种荷载。这种荷载包括对结构的突然加载和突然卸载。这里要注意突加荷载、和冲击荷载的区别。 (4) 快速移动的荷载 例如高速通过桥梁的列车、汽车等。 (5) 随机荷载 例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等，这 种荷载的变化极不规则，在任一时刻的数值无法预测，其变化规律不能用确定的函数关系来 表达，只能用概率的方法寻求其统计规律。 3、 如果结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外
5、部干扰力作用，这种振动就称为自由振动；若在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。研究自由振动是研究强迫振动的基础。4、 结构动力计算的目的：在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任务。然而，结构在强迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的频率和振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。 112 结构振动的自由度在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。质点在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。例如
6、图111a所示简支梁在跨中固定着一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小而可略去，并把重物简化为一个集中质点，则得到图111b所示的计算简图。如果不考虑质点m的转动和梁轴的伸缩，则质点m的位置只要用一个参数y就能确定。我们把结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目，称为该结构振动的自由度。据此，图11l所示的梁在振动中将只具有一个自由度。结构振动自由度的数目，在结构动力学中具有很重要的意义。具有一个自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结构则称为多自由度结构。图 11-1在确定结构振动的自由度时， 应注意以下几点：不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确
7、定质点位置所需的独立参数数目来判定。例如图112a所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点，它们的位置只需一个参数，即杆件的转角。便能确定，故其自由度为1。又如图112b所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则其自由度为3，因为尽管梁的变形曲线可以有无限多种形式，但其上三个质点的位置却只需由挠度y1、y2，、y3，就可确定。又如图112c所示刚架，虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移y1和竖直位移y2：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。图11-2在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假
8、定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。例如图112d所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根链杆便可限制其全部质点的位置(112)，故其自由度为3。由此可见，自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。当然，自由度的数目是随计算要求的精确度不同而有所改变的。如果考虑到质点的转动惯性，则相应地还要增加控制转动的约束，才能确定自由度数。以上是对于具有离散质点的情况而言的。但是，在实际结构中，质量的分布总是比较复杂的，除了有较大的集中质量外，一般还会有连续分布的质量。例如图112f所示的梁，其分布质量集度为m(kgm)，
9、此时，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自由度。当然完全按实际结构进行计算，情况会变得很复杂。因此我们常常针对某些具体问题，采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。例如图113a所示机器的块式基础，当机器运转时，基础将产生垂直振动?若用弹簧表示地基的弹性，用个集中质量代表基础的质量，就可简化为图示的支承集中质量的弹簧，使结构转化为单自由度结构。又如图113b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。图11-3113 单自由度结构的自由振动研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单
10、结构开始。 所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。初始的干扰有两种情况：（1）由于结构具有初始位移；（2）由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。例如图114所示，在跨中支承集中质量的简支梁，若把质点m拉离其原有的弹性平衡位置，达到图中虚线所示的偏离位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。由于在振动进程中不再受到外来干扰，所以这时的振动就是自由振动。这是由于结构具有初始位移而引起自由振动的例子。又如若对图114的质点施加瞬时冲击作用，在极短的时间内使其获得一定的初速度，当它还来不及发生显著的位移时，外力
11、又突然消失，这样引起的结构振动，便是初始速度干扰下产生自由振动的例子。图11-4影响结构振动的因素很多，阻尼是其中之一，为简单起见不妨先略去阻尼的影响。1、不考虑阻尼时的自由振动 对于各种单自由度结构的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图115a所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。我们取此重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为系为K11,称为弹簧的刚度；而在单位力作用下产生的位移为，称为弹簧的柔度，但两者的关系为图 11-5为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立振动微分方程， 然后求
12、解。建立振动微分方程有两种基本方法： （ 1）是根据达朗伯原理(动静法)列出动力平衡方程，又称刚度法； （ 2）是列位移方程，又称柔度法。下面分别讨论。 (1) 列动力平衡方程 设质点m在振动中的任一时刻位移为y，取该质点为隔离体(图115b)，若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其上的外力有： (a) 弹簧拉力 负号表示其实际方向恒与位移y的方向相反，亦即永远指向静力平衡位置。此力有把质点m拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。 (b) 惯性力 它的方向总是与加速度的方向相反，故有一负号。 至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都
13、毋须考虑。 质点在惯性力I与弹簧的恢复力S作用下将维持动力平衡，故应有 I+S0 将I和S的算式代入即得 或 命 (111) 则有 (112) 这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。 (2) 列位移方程 上述振动微分方程也可以按下述方法来建立：当质点m振动时，把惯性力看作是一个静力荷载，则在其作用下结构在质点处的位移y应等于(图115c)： 亦即 可见与方法1结果相同。 式(112)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知： (b) 取y对时间t的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度 (c) 此两式中的积分常数Al和A2可由振动的初始条件来确定。 若当 t0时， 位移 yy
14、o， 速度 则有 A1y0 ，因此 其中y。称为初位移，称为初速度。再考察结构的自由振动曲线，由位移曲线知：是由两部分组成：（1 ）是由初位移y。引起的，表现为余弦规律；（2） 是由初速度引起的，表现为正弦规律 (图116a、b)。二者之间的相位差为一直角，后者落后于前者900详见下图 （116）图 11-6若令 （d）。 (e) 显然有 则位移方程可写成： 且有 可见这种振动是简谐振动(图116c)，式中a表示质点的最大位移，称为振幅，称为初相角。由于和cost都是周期性函数，它们每经历一定时间就出现相同的数值，若给时间t一个增量，则位移y和速度的数值均不变，故T称为周期，其常用单位为秒(s)；周期的倒数代表每秒钟内所完成的振动次数，称为工程频率；而即为2秒内完成的振动次数，称为圆频率
