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1、第20讲 圆与圆知识纵横圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，鉴定两圆的位置关系有如下二种方法：1. 通过两圆交点的个数拟定；2. 通过两圆的半径与圆心距的大小量化拟定。为了沟通两圆，经常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。例题求解【例1】如图，相距的两点、在直线上，它们分别以的速度在上同时向右平移，当点、分别平移到点、的位置时，半径为的与半径为的相切，则点平移到点所用的时间为_.（2023年嵊州市中考题）思绪点拨 两个动圆，移动圆心，的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。【例
2、2】如图，圆心为、的三圆彼此相切，且均与直线相切。若的半径分别为，则一定满足的关系式为（ ）。（天津市竞赛题） 思绪点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。【例3】如图，在矩形中，点从开始沿折线一以的速度移动，点从开始沿边以的速度移动。假如点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为。（1） 为什么值时，四边形为矩形？（2） 如图，的半径都是，那么为什么值时，相外切？（南京市中考题）思绪点拨 对于（1），把相关线段用的式子表达，运用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。【例4】已知与相交于，且的半
3、径为，的半径为（1） 过点作分别交和于两点，连接，如图，试求的值；（2） 过点任画一条直线分别交与于，连接和，如图，试求的值。（巴中市中考题）思绪点拨 对于（2），应与两圆半径相关，需构造相似三角形，运用图或构造直径或联想相交两圆的性质。【例5】如图，是半径为1的单位圆的四分之一，半圆在上并与弧内切于点，半圆的圆心在上，并与弧内切于，半圆与半圆相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为。（1） 试建立认为自变量的函数的解析式；（2） 求函数的最小值。（太原市竞赛题）分析 设两圆、半径分别为、，对于（1），通过变性把用的代数式表达，作出辅助线；对于（2），因，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是
4、求出的取值范围。化繁为简【例6】如图，圆、的半径都为1，且互相外切。圆的半径都为,且圆与圆、都分别外切，圆与圆都分别外切，圆与圆都分别外切，求的值。（2023年青少年数学国际城市邀请赛试题）分析与解 连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接，设、相切于，则，即，解得（负值已舍去）。学力训练基础夯实1、 的半径为,点是外一点，则认为圆心且与相切的圆的半径是 （长春市中考题）2、 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为和，则它们与墙的切点、间的距离为 。（绍兴市中考题）3、 如图，大圆的半径是小圆的直径，且有垂直于圆的直径，的切线交的延长线于点，切点为，已知的半径为，则 ；
5、。（杭州市中考题）4、 如图，为四个等圆的圆心，为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆提成面积相等的两部分，并说明这条直线通过的两个点是 ；如图，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆提成面积相等的两部分，并说明这条直线通过的两个点是 （天津市中考题）第4题 第5题5、 如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是 6、 如图，、外切于点，半径分别为、，为延长线上一点，作直线分别于、相切于、两点，则的度数为（ ）。 (武汉市高考题)7、 如图，正方形中，是边上一点，认为圆心，为半径的半圆与认为圆心、为半径的圆弧
6、外切，则的值为（ ） (湖州市中考题)8、 两圆的半径分式和，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）A. 一定内切 B.一定外切 C.相交 D.内切或外切9、 如图，与相交于、两点，通过圆心，点是的优弧上任意一点，（不与、点重合），连接、。（1）指出图中与相等的一个角； (2)当点在上什么位置时，直线与相切？请说明理由；（南宁市中考题）10、 已知A为上一点，B为与OA的交点，与的半径分别为r、R，且。（1） 如图，过点作的切线与交于M、N两点。求证：；（2） 如图，若与的交点为、，C是弧上任意一点，过点作的切线与交于、两点，试问是否成立，并说明你的结论。（天津市中
7、考题）11、 如图，点、在直线上，、的半径均为。以每秒的速度自左向右运动，的半径也不断增大，且半径与时间t之间的关系为。（1） 试写出A、B之间的距离与时间t（秒）之间的函数关系式；（2） 问点A出发后多少秒两圆相切？（威海市中考题）能力拓展12、 已知半径分别为1和2的两圆外切于点，则点到两圆外公切线的距离为 。（全国初中数学联赛试题）13、 如图，扇形OAB，与OA、OB分别相切于点E、F，并且与弧AB切于点，则扇形的面积与的面积之比是 。（兰州市中考题）14、如图，五个圆顺次相外切，且又都与直线、相切，假如其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么的直径为 。（天津市中考题）15、
8、如图，的半径为1，正方形的边长为6，点为正方形的中心，垂直AB于P点，若将绕点P按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与正方形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）。A.3次 B.5次 C.6次 D.7次（2023年宁波市中考题）16、 如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、，则当（ ）。A.6 B.7 C.8 D.9 （2023年南通市中考题）17、 已知、相交于、，公共弦与连心线交于点。若AB=48，、的半径分别为30、40，那么的面积是（ ）。A.600 B.300或168 C.168 D.600或168（广东省竞赛题）18、 如
9、图，、分别以、为圆心的半圆的直径，圆内切于半圆及外切于半圆。若，求圆的面积。（第19届香港中学竞赛题）19、 在中，分别以AB、BC为直径作、，交于另一点D。（1） 证明：交点必在上；（2） 如图，当与半径之比为4:3时，且与相切时，判断的形状，并求的值；（3） 如图，当通过点,的延长线交于，且，求的度数。（黄石市中考题）20、 如图，点H为的垂心，认为直径的与的外接圆相交于点P。求证：为的中点。（2023年“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）综合创新21、 如图，已知与都过点A，是D的切线，交于点C，连接。（1） 求证：；（2） 证明：；（3） 假如求的长。（十堰市中考题）22、 如图，已知、的半径不等，且外切于点A，但是A的一条公切线切于D，切于E，直线，且与BC的垂直平分线交于。求证：.（英国数学奥林匹克试题）
