《高等数学教案7-2.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教案7-2.DOC（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、72 向量及其加减法 向量与数的乘法 7. 2 数量积 向量积 一、两向量的数量积 数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为 W = |F| |s| cosq , 其中q 为F与s的夹角. 数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 数量积与投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 当a0时, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| Prj
2、 ab. 同理, 当b0时, ab = |b| Prj ba. 数量积的性质: (1) aa = |a| 2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab =0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则ab =0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则ab ab =0. 数量积的运算律: (1)交换律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m为数. (2)的证明: 分配律(a+b)c=ac+bc的证明: 因为当c=0时, 上式显然成立; 当c0时, 有 (a+b)c=|c
3、|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . 例1 试用向量证明三角形的余弦定理.证: 设在ABC中, BCA=q (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要证 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 记=a, =b, =c, 则有 c=a-b, 从而 |c|2=c c=(a-b)(a-b)=a a+b b-2a b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b), 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 数量积的坐标表示: 设a=(ax, ay, az ), b=(bx
4、, by, bz ), 则 ab=axbx+ayby+azbz .提示: 按数量积的运算规律可得 ab =( ax i + ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =ax bx ii + ax by ij + ax bz ik +ay bx j i + ay by j j + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk = ax bx + ay by + az bz . 两向量夹角的余弦的坐标表示: 设q=(a, b), 则当a0、b0时, 有 . 提示: ab=|a|b|cosq . 例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (
5、2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求AMB . 解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因为 ab=11+10+01=1, , . 所以 . 从而 . 例3设液体流过平面S 上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常向量)v. 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为). 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n
6、的夹角q , 所以这柱体的高为| v | cosq, 体积为 A| v | cos q = A v n.从而, 单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为 P=rAv n. 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩. 设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处. F与的夹角为q . 由力学规定, 力F对支点O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于与F所决定的平面, M的指向是的按右手规则从以不超过p的角转向F来确定的. 向量积: 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q
7、, 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即c = ab. 根据向量积的定义, 力矩M等于与F的向量积, 即. 向量积的性质: (1) aa = 0 ; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab = 0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab = 0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a/b ab = 0. 数量积的运算律: (1) 交换律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l为
8、数). 数量积的坐标表示: 设a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量积的运算规律可得ab = ( ax i + ay j + az k) ( bx i + by j + bz k) = ax bx ii + ax by ij + ax bz ik+ay bx ji + ay by jj + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk. 由于ii = jj = kk = 0, ij = k, jk = i, ki = j, 所以ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx
9、- ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 例4 设a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 计算ab . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. 解 根
10、据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是 . 例6 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向. 设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示w与r的夹角, 那么a = |r| sinq . 设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为 |v| =| w|a = |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于w与r, 又v的指向是使w、r、v符合右手规则. 因此有v = wr. ;5
