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1、方法技巧专题求函数最值的常用方法1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的最值问题，可以考虑用配方法例1已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值【思路】将函数表达式按exex配方，转化为关于变量exex的二次函数【解析】y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，f(t)t22at2a22.t2，f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为2，)抛物线yf(t)的对称轴为ta，当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2；当a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小
2、值之差为，则a_.【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值【解析】a1，函数f(x)logax在区间a,2a上是增函数，函数在区间a,2a上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa1.loga2，a4.故填4.【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性这一点处理好了，以下的问题就容易了一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间m，n上的最值：若函数f(x)在m，n上单调递增，则f(x)minf(m)，f(x)maxf(n)；若函数f(x)在m，n上单调递减，则f(x)minf(n)，f(x)maxf(m)；若
3、函数f(x)在m，n上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理5导数法设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法例5函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是_【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值【解析】因为f(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍去)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为17.【讲评】(1
4、)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点6平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题例6已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A.B.C. D.【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决【解析】由题意，得所以函数的定义域为x
5、|3x1又两边平方，得y24242.所以当x1时，y取得最大值M2；当x3或1时，y取得最小值m2，选C【讲评】对于形如y的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2(ab)2的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得7数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中例7对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1
6、|，|x2|(xR)的最小值是_【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解【解析】由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，所以x.所以f(x)其图像如图所示由图形易知，当x时，函数有最小值，所以f(x)minf()|1|.8线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值例8已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：xy4，yx，x1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于_，最大值等于_【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值【解析】由题意，得点P(x，y)的坐标满足画出可行域，如图所示由条件，得A(2,2)，|OA|2；B(1,3)，|OB|；C(1,1)，|OC|.故|OP|的最大值为，最小值为.
