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1、空间立体几何空间几何体的表面积与体积本节内容的复习是要求考生能进一步认识和熟悉各种几何体，能利用公式，求常见几何体的表面积与体积1. 若球O1、O2的表面积之比4，则它们的半径之比_.2.用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的体积为_3.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则此三棱柱的体积为_cm3.4.有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是_【例1】根据下列对几何体结构特征的描述，在横线上填写出相应的几何体的名称(1) 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六
2、边形，其他各面都是矩形_；(2) 一个直角三角形绕着其一条直角边旋转360形成的封闭曲面所围成的图形_；(3) 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形_；(4) 一个直角梯形绕较长的底边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体_.【例2】如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积【例3】如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a，侧棱长为a.(1) 求它的外接球的体积；(2) 求它的内切球的表面积【例4】(2011辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD
3、，PDQA，QAABPD.(1) 证明：PQ平面DCQ；(2) 求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值1. (2011福建)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_2.(2011全国)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_3.(2011上海)若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_4. (2011四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_5.(2011全国)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD
4、，垂足为H，PH是四棱锥的高(1) 证明：平面PAC平面PBD；(2) 若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积6. (2011安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED平面ACFD，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB、OAC、ODE、ODF都是正三角形(1) 证明：BCEF；(2) 求棱锥FOBED的体积(2010安徽)(本小题满分14分)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60，BDC45，ADPBAD.(1) 求线段PD的长；(2) 若PCR，求三棱锥PABC的体积解：(1) BD是圆的直径 BAD90.(2
5、分)又ADPBAD， ，(4分)DP3R.(7分)(2 ) 在RtBCD中，CDBDcos45R. PD2CD29R22R211R2PC2， PDCD.(9分)又PDA90， PD底面ABCD，SABCABBCsin(6045)R2，(12分)VPABCSABCPDR3.(14分)专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积1. 下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号) 各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥； 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都
6、是母线【答案】2. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，则四面体AB1CD1的外接球的体积为_【答案】解析：四面体的外接球就是该正方体的外接球3. 有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为_【答案】2a2解析：当气球表面积最大时，球与正方体的棱相切4. 已知ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r(用SABC表示ABC的面积)，则SABCr(abc)；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VABCD_.【答案】R(SABCSABDSACDSBCD)5. 如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下
7、一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比点拨：求棱锥CADD的体积直接用公式，剩余的体积用大减小解：已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB.设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高为h，因此，棱锥CADD的体积VCADDShSh.余下的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15.6. 如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体(1) 若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(2) 我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体
8、的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体(不要求证明)；(3) 若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体(不要求证明)，并计算它的体积与长方体的体积的比解：(1) 如四面体A1ABC或四面体C1ABC或四面体A1ACD或四面体C1ACD；(2) 如四面体B1ABC或四面体D1ACD；(3) 如四面体AB1CD1；设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则.基础训练1. 22. 33. 64. 解析：(本题考查侧面展开图的应用)如图所示，圆柱的底面周长是2，将圆柱沿母线展开，则缠绕3圈的最短长度就是边长分别为5 cm和6 cm的对角线长A1B.例题选讲例1【答案】(1) 正六棱柱(2)
9、圆锥(3) 圆台(4) 由一个圆锥和一个圆柱组成的组合体变式训练下列命题正确的是_ 由五个面围成的多面体只能是四棱锥； 棱锥的高线可能在几何体之外； 有一个面是多边形，其余各个面是三角形的几何体是棱锥； 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么此圆锥的轴截面是正三角形【答案】解析：五个面的多面体可能是三棱柱，故错；过三棱锥顶点引底面垂线，垂足有可能落在底面三角形外，故对；正八面体的各个面都是三角形，故错；设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则l2rl，所以l2r，于是轴截面是正三角形，则对例2解：如图所示，过C作C1OAB于O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R， ACR，BCR，CO1R
10、， S球4R2，S圆锥AO1侧RRR2，S圆锥BO1侧RRR2， S几何体S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧4R2R2R2R2， 旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球R3，V圆锥AO1AO1COR2AO1，V圆锥BO1BO1COBO1R2， V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)R3R3R3， 旋转所得到的几何体的体积为R3.变式训练如图所示，扇形的中心角为90，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为_【答案】11解析：因为V1R2RR3，V1V2R3R3，所以V2R3，即V1V211例3点拨：首先确定球心的位置，然后利
11、用截面解三角形求解解：(1) 设外接球的半径为R，球心为O，则OAOCOS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径 ABBCa， ACa. SASCACa， SAC为正三角形由正弦定理得2Ra，因此，Ra，V球R3a3.(2) 设内切球半径为r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，连结EF，则有SFa，SSBCBCSFaaa2.S棱锥全4SSBCS底(1)a2.又SEa， V棱锥S底ha2aa3. ra，S球4r2a2.变式训练如图正方形ABCD的边长为a，E，F分别是边AB，BC的中点，沿DE，EF，FD将DAE，EBF，FCD折起来，使A，B，C三点重合于点S, 则三棱
12、锥SDEF的外接球体积为_【答案】a3解析：由题意可知SD、SE、SF两两垂直，则外接球的半径Ra VR3a3.例4(1) 证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD，所以PQ平面DCQ.(2) 解：设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积为V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积
13、的比值为1.高考回顾1. 2. 6a23. 4. 2R2解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为，则圆柱的侧面积S2Rsin2Rcos2R2sin2，当时，S取最大值2R2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2R2.5. (1) 证明：因为PH是四棱锥PABCD的高，则PHBD，又ACBD，PH平面PBD，BD平面PBD，PHBDH，所以AC平面PBD.因为AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD.(2) 解：因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB， 所以HAHB.因为APBADB60，所以PAPB，HDHC1，可得PH.S梯形ABCDACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).6. (1) 证明：设G是线段
