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1、异面直线巧辨别异面直线的三种判别方法 在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法 一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般
2、情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法 找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的
3、一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线与一个平面相交于一点P，那么上任意一条不经过点P的直线n都与m互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n在平面上，另一条直线m与该平面相交于P点，然后就只需证明P不在直线n上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD中，于M，于N，求证DM与CN是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM和CN为异面直线，很显然，DM是在平面A
4、BD上的，而CN与平面ABD交于点N，所以，根据判定定理，我们只需要证明N不在DM上就可以了.这里，所以N为AB的中点，而，所以M不是AB的中点，也就是说，DM不会过点N，所以，DM和CN为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一） 定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直
5、线.（二） 反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件，那么这个平面内，过直线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.判断题1、 两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直与另一个平面。 （）2、 两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行。 （）3、 一个二面角的两个平面分别与另一个二面角的两个面垂直，那么这两个二面角相等或互补。 （）4、 五边形中两组不相邻的边平行，那么这个五边形是平面图形 （）。证明题1、 分别和两条
6、异面直线相交于不同点的两条直线是异面直线。已知：直线c,d分别与异面直线a,b相交于E,F,G,H不同的四个点。求证：c,d是异面直线。2、如图，平行六面体中，点和分别是侧棱、上的点，且，不在底面内，。立体几何知识点回顾一、 平面的基本性质（1） 判断直线在平面内的依据：（2） 判断两平面有交线位置的依据：在确定平面截多面体所得截面形态时，常常利用这个定理。（3） 确定平面的条件：（4） 确定两直线平行的条件：二、 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（1） 线线： （2） 线面：（3） 面面：2、两条直线平行的判断法3、 两条直线垂直的判断法4、 直线和平面平行的判断法5、 直线和平
7、面的判断法6、 平面和平面平行的判断法7、 平面和平面垂直判断法8、夹角直线之间的夹角范围直线和平面所成角的范围二面角的平面角空间两个平面所成的角的范围一、选择题1、两条异面直线所成的角（）A经过空间一点分别作两条异面直线的平行线，这个角叫两条直线所成的角B经过异面直线上的任意一点作另外一条直线的平行线，这样组成的角C进过空间一点分别作两条异面直线的平行线所组成的锐角（或直角）叫这两条异面直线所成的角D两条异面直线在同一个平面的射影的夹角2、与同一条直线垂直相交的三条直线确定的平面个数为（）A一个平面或两个平面B两个平面或三个平面C一个平面、两个平面或三个平面D一个平面、两个平面或不能确定平面
8、3、两条异面直线在同一个平面内的射影是（）A两条相交直线 B两条平行直线C两条相交或平行直线 D以上均不对4、一条直线和平面A所成的角为30，则它和平面A内的所有直线所成的角中，最大的角是（）A 30 B 150 C 90 D 1805、一条直线和垂直与它的两条直线确定平面的个数是（）A一个平面或两个平面B.两个平面或三个平面C.一个平面、两个平面或三个平面D.以上答案均不对6、一个三棱锥如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A.必然是直角三角形B.至多只能有一个是直角三角形C.至多只能有两个是直角三角形D.可能都是直角三角形7、在下列四个命题中：1、若直角三角形在平面内的射影仍是一个
9、三角形，那么原来三角形的重心在平面内的射影是摄影三角形的重心2、三个平面两两相交，这三条交线一定交于一点3、一条直线上如果有三个点和一个平面距离相等，那么这条直线与那个平面平行4、两两垂直的三个平面有一个公共顶点，另一平面与这三个平面相交的一三角形，则顶点在这个三角形的射影是外心；正确的个数（）A 1 B 2 C 3 D 4 8(精选考题海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是()A若m，n，则mnB若mn，m，则nC若m，m，则D若m，m，则9、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的
10、大小为（ ）A90B60C45D30（04湖南5）（10）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则= 10.D(A) (B) (C) (D) （04浙江10）11.设 m, n是两条不同的直线,是三个不同的平面.给出下列四个命题:若m,n,则mn; 若, r, m,则mr; 若m,n,则mn; 若r, r,则.其中正确命题的序号是 (A)和 (B)和 (C)和 (D)和（04北京3）12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一
11、个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C二、填空题1、空间四点无三点共线，可确定 个平面。2、三个平面两两相交，可将空间分成 个区域。3、四面体ABCD中，AB,AD,AC两两垂直，三角形ABC、ABD、ACD的面积分别为 则三角形BCD的面积为 。4、已知平面和直线m，给出条件：；. （i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（湖南05）5、如图，在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=BC， 且，则PA与底面ABC所成角为 . （05江西15）三、证明题1、已
12、知直线， 与平面M斜交， ， 且平面M，平面M，求证： 。2、如图，四棱锥PABCD中,底面ABCD 为矩形,AB=8，AD=4,侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD. （04甘肃21）3（本小题满分12分）三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1) 求证ABBC；PCAB(2) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小. 4（04广西21）4（04年）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点。（）求证平面；（）求证平面；（）求二面角的大小。 5（05年）如图,在三棱锥中，点、分别是、的中点，底面。（）求证平面；（）求直线与平面所成角的大小。37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4,A
