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1、专题8 解析几何苏州市高新区第一中学 於勇一、填空题例题1. 设圆：的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 答：4提示：方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点P（第一象限），,则,故，故AB=AP+BP例题2. 答：提示：由圆的平面几何知识可得CP例题3. 已知A：，B: ，P是平面内一动点，过P作A、B的切线，切点分别为D、E，若，则P到坐标原点距离的最小值为答：提示：利用切线长公式求出点P的轨迹为直线，故P到坐标原点距离的最小值为例题4. 已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 答：提示：设左焦点E，连接PE，由圆的切线可得OQ
2、PF，而OQPF，故,，。（备用题）过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 例题5. 椭圆的左，右焦点分别为弦过，若的内切圆的周长为两点的坐标分别为则= . 答：提示：利用例题6. 已知正方形的坐标分别是,，动点M满足： 则 答：提示：设点的坐标为， 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以（备用）如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）椭圆例题7. 椭圆和双曲线的公共焦点为是两
3、曲线的一个交点, 则的面积为 答：提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 ，最后用面积公式例题8. 设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆 若直线与圆相交于两点，且，则椭圆方程为 答：提示：由条件可知， 因为，所以得：。，所以，从而。半径为a，因为，所以，可得：M到直线距离为从而，求出，所以椭圆方程为：； 例题9. 以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 答：提示：焦准距例题10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，
4、则双曲线的离心率的取值范围为 .答：提示：，故例题11. 已知双曲线（为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则= 答： 提示：先利用双曲线的第二定义求出离心率，在求（备用题）已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，则椭圆的离心率等于 答：提示：利用可得例题12. 设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 答：提示：令，消元可得：椭圆的中心到准线的距离=，再求之例题13.如果P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直线l上,且满足，则点
5、Q总在定直线 上答：提示：取特殊的左准线，并取特殊点（）验证之例题14. 已知椭圆 （）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点.若 恰好将线段三等分，则=_.答：提示：直线AB为代入椭圆求弦长MN=，再用可得（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心率为的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中
6、线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= -2交于点N(n,2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,现给出下列命题：.；是奇函数；在定义域上单调递增；.的图象关于点(，0)对称；f(m)=时AM过椭圆右焦点.其中所有的真命题是_ (写出所有真命题的序号）、二、解答题例15平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于轴于点（，）和（，），问是否为定值？若是
7、，请求出该定值；若不是，请说明理由。解：因为点到直线的距离为， 2分 所以圆的半径为，故圆的方程为 4分设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即， 6分，当且仅当时取等号，此时直线的方程为10分设，则，直线与轴交点，直线与轴交点， 14分，故为定值2 16分例16（本题满分16分）已知圆：，点在直线上，过点作圆的两条切线，为两切点，(1) 求切线长的最小值，并求此时点的坐标；(2) 点为直线与直线的交点，若在平面内存在定点(不同于点，满足：对于圆 上任意一点，都有为一常数，求所有满足条件的点的坐标。（3）求的最小值；解：（1）设点=故当，即时，（2）由题：，设，满足则整理得：，对任意的点都成
8、立，可得解得 ，或（舍）即点满足题意。（3）=,，令,而在上恒大于0，故所以，当时取得例17如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限（I）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2求证：直线AM与ABE的外接圆相切；求椭圆的标准方程（II）设椭圆的离心率为，直线AM的斜率为，求证：是定值解：（）依题意：， 3分 为外接圆直径直线与的外接圆相切； 5分 由解得椭圆标准方程为 10分 （）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，代入椭圆方程得 14分 为定值 15
9、分例18（本题满分16分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限内一点OF2AxyPBF1（1）若,求椭圆的离心率；（2）若，求直线的斜率；（3）若、成等差数列，椭圆的离心率，求直线的斜率的取值范围.解：（1）= a-c=2c =2（2）设， = 4 b-kc=2kc b=3kc a=3cb=2c k=7(3)设=t，则8P在第一象限 9 2t= 11。又由已知，。12 = =（令，）13 = = ，。16（备用）例19如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆
10、：,记点的轨迹为曲线.证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线，NA=NM, 而圆C的半径为 2分NC+NA=NC+NM=CM=(常数)动点N到两定点C, A的距离之和为常数，所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为的椭圆 4分当时，由于，所以所求椭圆E的方程为 6分（2）椭圆E的方程为，其上顶点B所以，直线的方程为， 8分记点关于直线的对称点则有， 解得：11分；由，得， 12分，令，因为 则， 14分所以，点的纵坐标的取值范围是 15
11、分（备用）例20在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为记以AB为直径的圆为C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D（1）求C和椭圆D的标准方程；（2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在C的内部；（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论解：（1）圆心 ，则的半径为 从而的方程为 2分 椭圆D的标准方程为 4分（2）当时，椭圆D的方程为设椭圆D上任意一点，则， 因为 6分， 所以从而椭圆D上的任意一点都不在在C的内部 8分（3）为定值 9分证明如下：设点P（，），Q（，），则由题意，得N（，），从而直线PQ的方程为令y0，得又直线QN的方程为令y0，得 13分因为点P，Q在椭圆D上，所以，从而，所以 所以定值 16分（备用）例21（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，（1）求直线BD的方程；（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；
