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1、第二章 推理与证明 综合测试时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D不是以上错误答案C解析大小前提都正确，其推理形式错误故应选C.2定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：()(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于An Bn+1Cn1 Dn2答案A解析令ann*1，则由(ii)得，an1an1，由(i)得，a11，an
2、是首项a11，公差为1的等差数列，ann，即n*1n，故选A.3定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中，a，b对应的运算是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D答案B解析根据题意可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆故选B.4已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A. BC. D答案B解析a2S2S122a21，a2，a3S3S232a322a29a34，a3.a4S4S342a432a316a49，a4.由此猜想an.5观察数列1,2,2
3、,3,3,3,4,4,4,4，的特点，则第100项为()A10 B14C13 D100答案B解析设nN*，则数字n共有n个，所以100即n(n1)200，又因为nN*，所以n13，到第13个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.6已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a、b、c的值为()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a、b、c答案A解析令n1,2,3，得，所以a，bc.7已知f1(x)cosx，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2015(x)等于()Asinx Bsi
4、nxCcosx Dcosx答案D解析由已知，有f1(x)cosx，f2(x)sinx，f3(x)cosx，f4(x)sinx，f5(x)cosx，可以归纳出：f4n(x)sinx，f4n1(x)cosx，f4n2(x)sinx，f4n3(x)cosx(nN*)所以f2015(x)f3(x)cosx.8有下列叙述：“ab”的反面是“ay或x0，ac0，bc0，则f(a)f(b)f(c)的值()A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正负都有可能答案A解析f(x)x3x是奇函数，且在R上是增函数，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)
5、0，所以f(a)f(b)f(c)0.10(2014福建文，12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为|P1P2|x1x2|y1y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是() 答案A解析设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则|xc|xc|2|y|2a.当y0时，y，当y0时，y图像应为A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_
6、”，这个类比命题是_命题(填“真”或“假”)答案夹在两个平行平面间的平行线段相等；真解析类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”12设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).13由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(m
7、n)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“”类比得到“”以上类比得到的结论正确的是_答案解析都正确；错误，因为向量不能相除；可由数量积定义判断，所以错误；向量中结合律不成立，所以错误14(2014东北四校联考)根据下面一组等式S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，可得S1S3S5S2n1_.答案n4解析根
8、据所给等式组，不难看出：S1114；S1S31151624；S1S3S5115658134，S1S3S5S71156517525644，由此可得S1S3S5S2n1n4.15若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)sinx在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_答案解析f(x1)f(x2)f(xn)f，(大前提)f(x)sinx在(0，)上是凸函数，(小前提)f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sinAsinBsinC3sin，sinAsinBsinC的最大
9、值是.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：3.解析解法一：(分析法)要证3，只需证明1113，即证6.而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，得2，2，2.从而6.故3得证解法二：(综合法)a、b、c全不相等，与，与，与全不相等2，2，2.三式相加得6，(1)(1)(1)3，即3.17(本题满分12分)设f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明答案证明略解析f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).一
10、般性结论：若x1x21，则f(x1)f(x2).证明：设x1x21，f(x1)f(x2).18(本题满分12分)在某两个正数x、y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b、c，使x，b，c，y成等比数列，求证(a1)2(b1)(c1)解析由已知条件得x，y得2a，且有a0b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，只要证a1，也就是证2abc.而2a，只需证bc，即证b3c3(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.上式显然成立，(a1)2(b1)(c1)19(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论2cos，2cos，2cos，答
11、案证明略，一般性结论为2cos解析2cos2，2cos22，2cos22归纳得出，2cos.20(本题满分13分)数列an的前n项和Sn2an3n(nN*)(1)求an的通项公式；(2)数列an中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由答案(1)an32n3(2)不存在，证明略解析(1)a1S12a13，则a13.由an1Sn1Sn2an12an3an132(an3)，an3为等比数列，首项为a136，公比为2.an362n1，即an32n3.(2)假设数列an中存在三项ar，as，at(rst)，它们可以构成等差数列，且arasat.只能是arat2at，即3(2r1)3(2t1)6(2s1)2r2t2s1.12tr2s1r.(*)rsx3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，当x0或x1时，f (x)0，当0x1时，
