高数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)21. xim0(1 3x)Sinx2.已知cosx3.是f(x)的一个原函数，则X x兀 2兀 2 2兀I, 2“一1lim —(cos — cos cos )二n ： n n n n 12 2x arcsin x 1 dx =4. 、5._ 1 Ji - x22单项选择题(本大题有4小题，每小题4分,设a(x)= —x , P(x) = 3_3$'x,则当 xt 1时(1 + x(A)'(x)与'(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；共16分)(B) ■ (x)与'(x)是等价无穷(D) $(X)是比口 (x)高阶的无穷小. ),则在x = 0处有( ).(B) f (0) = 1 (C) f (0) =0 ( D) f(x)不可导.小；(C) (X)是比-(x)高阶的无穷小；6 设 f ( x) = cos x( x + sin x(A) f (0) =2x7.若'((A)(B)(C)(D)F (x) =，0 (2t-x) f( t)dt,其中 fg 在区间上(-1,1)二阶可导且 f (x) 0，则).)函数F(x)必在x=0处取得极大值；)函数F(x)必在x = 0处取得极小值；)函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0,F(°))为曲线y = F(x)的拐点；)函数F(x)在x=0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y二F(x)的拐点。
2 2 £ —2A) 2 (B) 2 (C) x-1 (D) x 2.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)8. 设函数y=Wx)由方程e八sin(xvr 1确定，求y(x)以及y(°).，且四号",A为常数.求g(X)1g(x)二〕f(xt)dt9. 设函数f(x)连续， 0并讨论g(x)在x = 0处的连续性.y(1) = -110. 求微分方程xy • 2y = x In x满足 9的解.四、解答题(本大题10分)11. 已知上半平面内一曲线y = y(x) (X—0)，过点(0，1)，且曲线上任一点M(Xo,yo) 处切线斜率数值上等于此曲线与X轴、y轴、直线x = x所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)12. 过坐标原点作曲线y = ln X的切线，该切线与曲线y = ln X及X轴围成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)q [0,1]13. 设函数f(x)在-0'1 上连续且单调递减，证明对任意的q 1f (x) d x _ q f (x)dx0 0JIf (x)cosx dx = °° .证14.设函数f(x)在0,」上连续，且明：在°，二内至少存在两个不同的点 1，2f (x) d x = 0° ，，使f( iH f「2)"(提示：设xF (x)二 f(x)dx0 )解答、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、 填空题(本大题有1 -厂 e6 c ；( )5. e . 6. 2 x三、 解答题(本大题有5小题， 解：方程两边求导x = 0, y = 0 y (°) = T7 6解: u = x 7x dx 二 du1 0J： f (x)dx = J： xe^dx +9.10.11.12.4小题，每小题cosx 2+ c.7.每小题4分，共16分)nji2 . 8. 38分，共40分)：2x x2dx解：解：由 f (0) =0，知 g(0)=0。
xxf(x)- f(u)du0 A A呵g(x)pm —x —"WP，g(x)在 x=0 处连续鱼+2y=lnx13.解：dx x1 1.1 y(1) ,C =0 y xlnx x9 ， 3 9四、解答题(本大题1°分)X14.解：由已知且八20ydx'y，将此方程关于x求导得y“ = 2y • y特征方程：r2-r-2=0 解出特征根:其通解为y二C1e八C2e2x=-1, r2 = 2.代入初始条件y(°)= y(°)= 1，2亠 y = —e故所求曲线方程为： 3五、解答题(本大题1°分)得1e3CiC22x15.解：(1)根据题意，先设切点为(x0,lnx0)y - In X0由于切线过原点，解出Xo =e，从而切线方程为:1 1A = J(ey —ey)dy =— e -1则平面图形面积 0 2切线方程:1y xe1(x- X0) XoV,则 V1(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为曲线y=lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V2D绕直线x =六、证明题e旋转一周所得旋转体的体积(本大题有2小题，每小题4分，共12分)q 1 q q二 g(5e2 -12e 3)f (x) d x - q f (x)dx 二 f (x) d x - q( f (x) d x f (x)dx)° ° ° ° q16.证明：故有：qf(x)d x — q f(x)dx° ° 证毕。
xF(x) = J f (t)dt , ^ x