第二章:消费理论专题1、 对偶2、 Integrability定理3、 显示性偏好4、 不确定性条件下的消费选择2.1、对偶理论意义：效用最大化：支出最小化：当、时，效用最大化问题的解和支出最小化问题的解相同，即：2.1.1：支出函数和偏好关系求证：对已知的任意的函数，如果它满足支出函数的七个特征，则它是支出函数即有：准备知识：支出函数的七个特征：1. 在取最低效用水平时，支出函数为零2. 在定义域上连续3. 对于所有的，支出函数在上递增并且无上界4. 在价格上递增5. 在价格上一阶齐次性6. 在价格上为凹函数7. 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：第一步：构造效用函数第二步：证明满足支出函数特征的是支出函数，即有 ，，超平面：闭半空间：闭集、凸集...闭集、凸集定理：1.14：用构造偏好关系定理2.1：支出函数效用函数：函数满足支出函数的七个特征，，则由定义的函数递增、无上界、拟凹证明：，而意味着有，所以，有：1、 证明上述定义有意义，即有解 有最大值，在上为增函数，所以在取最大值时，取最大值：2、 证明递增：，有取和，有；根据的定义，有，和3、 证明无上界：4、 证明拟凹：取、，线性组合，求证：证明：设在上递增，有有根据和的定义，有定理2.2：衍生效用函数支出函数函数满足支出函数的七个特征，为定理2.1中由函数得到的递增、无上界和拟凹函数。
对于所有的非负价格和效用，如果有则，函数为衍生效用函数导致的支出函数证明： 关键证明对于所有的，有：①证明：固定，，并设根据的定义，有函数满足支出函数七特征，在上递增，所以有，这适用于所有的，因此，对于任意给定的价格向量，对于任意的，有：，其中 满足有， 满足②证明：在价格上一阶其次性，满足欧拉定理：在价格上为凹函数，有：，即即：得到：函数满足谢菲尔德引理，有：令有当最小化时，当没有最小化时，所以有，，，所以，，，所以有：，，定理2.3：间接效用函数和直接效用函数的对偶性拟凹、可导，，由此函数衍生的间接效用函数在价格向量上有最小值，且有证明：间接效应函数对任何价格水平，有：要证明，只需证明或者说，找到一个价格向量，有构造价格向量：给定，设（边际效用等于价格）进而设，有：此即效用最大化的一阶条件使消费者达到最大效用有当时，当时，所以有由于任意选定，所以有因此，具有零阶齐次性，所以，，定理2.4：Hotelling定理为消费者的直接效用函数，在收入为时，对商品的反需求函数为为：证明：对最小化问题求解，构造拉格朗日函数：根据包络定理，有，效用最大化问题中表示预算的边际效用：需求函数的特征：1.) 预算平衡性2.) 零阶齐次性3.) 对称的的替代矩阵4.) 负半定的替代矩阵5.) Cournot加总6.) Engel加总预算平衡性对称的的替代矩阵负半定的替代矩阵零阶齐次性Cournot加总Engel加总定理2.5：马歇尔需求函数满足预算平衡性，其Slutsky矩阵是对称的，则在和上，它满足零阶齐次性。
证明：略定理2.6:一体性定理:函数是由递增的、拟凹的效用函数导出的需求函数该函数满足预算平衡性、对称性和负半定性证明：函数满足预算平衡性、对称性和负半定性该函数是由递增的、拟凹的效用函数导出的需求函数要点：找出效用函数显示性偏好偏好基础上的（公理性）消费者理论：偏好关系消费者需求效用最大化：消费者需求的特征：预算平衡性负半定性对称性选择基础上的消费者理论：消费者的选择行为需求函数消费者的选择行为：选择函数，在价格为收入为时，消费者选择的商品束为需求函数：，定义：P.21：“效用最大化问题的解在被看作是价格和收入的函数的时候，被称为需求函数”选择函数不是需求函数求证：在消费者的行为即选择函数满足某些条件时，该选择函数为需求函数，即该选择函数是效用最大化问题的解方法：一体性定理：连续可导的函数在满足预算平衡性、对称性和负半定性特征时，它是由某个递增的、拟凹的效用函数产生的需求函数求证：选择函数连续可导且满足预算平衡性、对称性和负半定性证明步骤：1. 选择函数必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）2. （假设）选择函数满足预算平衡性3. 证明选择函数满足零阶齐次性4. 证明选择函数满足负半定性5. 证明选择函数满足对称性6. 应用一体性定理显示（性）偏好：在某一价格和收入水平下，如果两个不同的消费束和都是消费者能够支付得起的，消费者选择了而没有选择，则说，消费者的这一选择行为揭示出在消费束和之间，消费者偏好。
此定义存在的问题：显示性偏好的弱公理（WARP）：某消费者在价格下选择，在价格下选择了，和是不同的消费束，如果，有，则说该消费者的行为满足WARP换句话说，如果消费者的行为揭示出消费者偏好甚于偏好，而始终没有被揭示出优于，则说该消费者的选择行为满足显示性偏好的弱公理（WARP）l “如果”：在价格下，两个消费束都是可支付得起的；l 在价格下，消费者选择了 ，根据显示性偏好的定义， ，这意味着只要两个消费束都是可支付得起的，消费者将始终选择；l 在价格 下，消费者选择而没有选择，这意味着在这一价格水平下， 是消费者支付不起的，即在价格下，消费者选择显示性偏好的意义：消费者行为具有一致性，不“朝三暮四”假设消费者行为满足显示性偏好的弱公理证明步骤：1. 选择函数必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）2. （假设）选择函数满足预算平衡性3. 证明选择函数满足零阶齐次性4. 证明选择函数满足负半定性5. 证明选择函数满足对称性6. 应用一体性定理选择函数：不是需求函数（假设）选择函数满足预算平衡性：消费者行为①必须满足显示性偏好的弱公理②必须满足预算平衡性证明选择函数满足零阶齐次性求证：对于所有的，有证明：设在任意价格和收入下，消费者选择；在价格和收入下，消费者选择。
设，求证：假设和是两个点，根据预算平衡性假设，有 (1.1) (1.2)将，代入到（1.2）中，得到 (1.3)也就是说，在价格和收入下，和都是消费者能够支付得起的商品束，但是消费者选择了，因此，消费者偏好，根据WARP， (1.4)但是，把，代入到（1.1）中，得到 (1.5)（1.4）和（1.5）相矛盾，所以和是同一个点证明选择函数负半定根据显示性偏好原理， （1）预算平衡性， （2）（2）－（1）：令，，，固定，令 变化且其取值使，有令，即，在时，取最大值，所以有所以，由，构成的矩阵负半定证明：选择函数满足对称性假设选择函数满足对称性根据一体性定理，该选择函数为需求函数存在支出函数，它与选择函数有下列关系当选择函数具有三项特征时，为需求函数而根据定理2.1和2.2，支出函数能够衍生出效用函数也就是说，选择函数是该支出函数衍生出的效用函数的解：需求函数需求函数肯定满足WARP证明：选择函数为需求函数时，效用函数使所观察到的行为合理化两种商品情况下：WARP和预算平衡性意味着齐次性和负半定性，预算平衡性和齐次性意味着对称性，所以选择函数是需求函数。
多种商品情况下：WARP和预算平衡性无法导出对称性显示性偏好的强公理：定义了显示性偏好关系中的传递性结论：消费者行为满足WARP、SARP和预算平衡性时，选择函数为需求函数不确定性条件下的选择：确定性条件下的选择：消费束不确定性条件下的选择：概率分布——赌局概率分布： ，结果的有限集：假设期末考试成绩简单分为三档：获得各个分数的概率为：A：B：选择：BA：C：选择：CB：C：选择：C解释：目标：获得尽可能高的分数 选择变量：概率分布假设成绩简单分为两种①和②两种情况下获得各个分数的概率都为A：选择：②①，概率分布为A1：②，概率分布为A2：选择：A2结果的有限集：，上的概率分布：被称为简单的赌局的集合或简单的概率分布的集合复合赌局：赌局的结果为赌局彩票：复合彩票：赌局集合的几何表示：单纯形复合赌局简单化：是由复合赌局诱生的简单赌局确定性条件下的选择：不确定条件下的选择：效用函数如何表示？偏好关系的公理如何确定？不确定性条件下，消费者在概率分布集合上有偏好关系，满足以下定理：1：穷尽性公理2：传递性公理3：连续性公理4：单调性公理5：替代性公理6：复合赌局简单化公理1：穷尽性公理对于赌局集合中的任何两个赌局和，或者有，或者。
例子假设期末考试成绩简单分为三档：获得各个分数的概率为：A：B：选择：或2：传递性公理对于赌局集合中的任何三个赌局 、和，如果有， ，则有例子：假设在时，有：最好的结果肯定发生在时，有：最差的结果肯定发生3：连续性公理对于中的任何赌局，存在某个概率，使得例子：假设期末考试成绩简单分为三档最好的结果为100分，最差的结果为0分假设在概率分布集合中存在一个概率分布根据连续性公理，存在某个概率，它使得与概率分布即60分无差异可能如：4：单调性公理对于所有的概率，当且仅当，有：①②例子：假设期末考试成绩简单分为两档：获得各个分数的概率为：A：B：根据单调性定理5：替代性公理如果和，对于每一个，有，则有①：对两个赌局中相对应的结果（可能是复合赌局、简单赌局或确定的结果）无差异②：概率分布相同则对两个赌局无差异6：复合赌局简单化公理对于任何赌局，如果是由诱生的简单赌局，有von Newmann-Morgenstern效用函数连续的实值效用函数反映概率分布集合上的偏好关系公理1、2。