二次函数（命题人：华师附中郭键）1.（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法若 f xx2 bx c,且0, f 30,求 f 1的值.变式1:若二次函数2axbx c的图像的顶点坐标为2, 1 ,与y轴的交点坐标为（0,11）,则A.1,b4,c11B. a 3,b 12,c11C.3,b6,c11D. a 3,b12,c11变式2:3,x [b,c]的图像x=1对称，则c=变式3:若二次函数2ax bx c的图像与x轴有两个不同的交点 A x1,0、B x2,0,22，且 Xix2269,试问该二次函数的图像由f x23 x 1的图像向上平移几个单位得到？2.（北师大版第52页例2）图像特征将函数f x23x 6x1配方，确定其对称轴，顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像.变式1:已知二次函数 f2ax bx c,如果 f x1x2（其中x1x2 ）,则f %X22B.C. cD.24ac b变式C.变式2a4a2:函数fpxq对任意的x均有f3:的大小关系是B. f 0D. f 1已知函数f2axbxc的图像如右图所示,请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题3.（人教A版第43页B组第1题）单调性，那么f 0、22已知函数 fx x 2x,gx x 2x x [2,4].⑴求f xg x的单调区间；（2）求f Xg X的最小值.变式1：已知函数f xX2 4ax 2在区间 ，6内单调递减，则a的取值范围是A. a 3B. a 3C. a 3D. a 321变式2：已知函数f x x a 1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，那么 f 2的取 值范围是.变式3：已知函数f xx2 kx在［2,4］上是单调函数，求实数 k的取值范围.4 .（人教A版第43页B组第1题）最值已知函数 f xx2 2x, g xx2 2x x ［2,4］.⑴求f x , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.变式1：已知函数f xx2 2x 3在区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A. 1,B. 0,2C, 1,2D.,2变式2:若函数y 3j x2~4的最大值为M，最小值为m,则M + m的值等于 .变式3：已知函数f x4x2 4ax a2 2a 2在区间［0,2］上的最小值为3,求a的值.5 .（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f x是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x x 1 x .画出函数f x 的图像，并求出函数的解析式.变式1 ：若函数f x m 1 x2 m2 1 x 1是偶函数，则在区间，0上f xA.增函数 B.减函数 C.常数D.可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f x ax2 bx 3a b a 1 x 2a是偶函数，则点a, b的坐标 是.变式3：设a为实数，函数f(x) x2 |x a| 1 , x R.(I)讨论f (x)的奇偶性；(II)求f (x)的最小值.6 .(北师大版第64页A组第9题)图像变换2x 4x 3, 3 x 0已知 f(x) 3x 3,0x1.2x 6x 5,1 x 6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值.变式1:指出函数yx2 2 x 3的单调区间.变式 2：已知函数 f (x) |x2 2ax b | (x R).给下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)f(2)时，f(x)的图像必关于直线 x=1对称；③若a2 b 0,则f(x)在区间［a, +8 )上是增函数；④f(x)有最大值|a2 b| .其中正确的序号是.③变式3：设函数f(x) x|x| bx c,给出下列4个命题：①当c=0时，y f (x)是奇函数；②当b=0, c>0时，方程f(x) 0只有一个实根;③y f(x)的图象关于点(0, c)对称;④方程f(x) 0至多有两个实根.上述命题中正确的序号为 .7 .(北师大版第54页A组第6题)值域求二次函数f (x) 2x2 6x在下列定义域上的值域:(1)定义域为x Z 0 x 3 ； (2)定义域为2,1A.3 220, 2变式1 ：函数f (x)2x2 6x 2 x 2的值域是B.20,4C.20,-D.20, 22变式2 ：函数y=cos2x+sinx的值域是 .变式3:已知二次函数f (x) = ax 2 + bx (a、b为常数，且a w 0),满足条件f (1 + x) =f (1—x),且方程f (x) = x有等根.(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数 m、n (m < n),使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在，求出 m、n的值，如果不存在，说明理由.8 .(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数f x ax2 bx c的函数值恒大于零？恒小于变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1).(I)若函数f (x)的定义域为 R,求实数a的取值范围；(II)若函数f (x)的值域为 R,求实数a的取值范围.2,2 时，有 f (x) 2恒成立，求 a变式 2： 已知函数 f (x) x2 ax 3 a ，若 x的取值范围.变式3:若f (x) = x 2 + bx + c,不论 <0.为何实数，恒有 f (sin )>0, f (2 + cos )(I) 求证： b + c = － 1；(II)求证：c>3;(III) 若函数 f (sin ) 的最大值为 8，求 b、 c 的值．9． ( 北师大版第54 页 B 组第 1 题 )根与系数关系右图是二次函数 f2x ax bx c的图像，匕与x轴交于点 x1,0和x2,0 ,试确定 a, b,c 以及 X1X2, xX2的符变式1：二次函数yax2b与一次函数yax b(a b)在同一个直角坐标系的图像为XiX2OA.OD.mXCi: y5mx 4m,C2(2 m1)x3,C3：y2x 3mx 2m3中至少有一条相交，则 m的取值范围是.变式3：对于函数f (x),若存在Xo R,使f (xo) = X0成立，则称X0为f (x)的不动点.如XI、 X2.果函数f (x) = ax 2 + bx + 1 (a > 0)有两个相异的不动点(I)若X1 < 1 < X2,且f (x)的图象关于直线x = m对称，求证(II)若| X1 | < 2且| X1 —X2 | = 2 ,求b的取值范围.10.（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低 0.05元，则可多销售40瓶.在每月的进 货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？艾式1：在抛物线f xX2 ax与x轴所围成图形的内接矩形（一边在X轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数.变式2:某民营企业生产 A, B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）（1）分另将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；y yADX-1►O BCf川利翔”45 0.如 >*~**-^^ \011.* *【投秀）(2)该企业已筹集到 这10万元投资, 多少元(精确到10万元资金，并全部投入 A, B两种产品的生产，问：怎样分配才能使企业获得最大利润？其最大利润约为 1万元)？变式3：设a为实数，记函数f(x) a41 ―X2 木―x 木一X的最大值为g(a).(I)求g(a); (n)试求满足g(a) g(l)的所有实数a.a二次函数答案1.（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法变式1:解：由题意可知2a,24ac b4ac 11312,故选D.11b 20 c变式2: 解：由题息可知-—— 1 ,解得b=0, 1 ,解得c=2.22变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为f x 3 x 1 2 k ,展开得 f x3x2 6x 3 k,x2 2, x1x22X22262 3 kx1 x22x1x2 ——，即 4 9326一，解得9所以，该二次函数的图像是由 f x2， 一 一一 4、，、r,,，3 x 1的图像向上平移 -单位得到的，它的324c5斛析式ZE f x 3 x 1 一，即 f x 3x 6x —. 332.（北师大版第52页例2）图像特征变式1：解：根据题意可知红222旦，f陋号故选d. 2a24a变式2:解：f 1 xf 1 x , ••・抛物线f x2 」x px q的对称轴是x 1 ,E 1即 p 2, 2.-2fx x 2xq, f0 q、f 1 3q、f1 1 q,故有 f 1 f 0 f 1 ,选 C.t y变式3:解：观察函数图像可得：① a>0（开口方向）；②c=1（和y轴的交点）；③4a 2b 1 0（和x轴的交点）；④a b 1 0（ f 10）；2 ...._b...⑤b 4a 0（判别式）；⑥1— 2（对称轴）.2a3 .（人教A版第43页B组第1题）单调性2变式1 ：斛：函数f x x 4ax 2图像是开口向上的抛物线,其对称轴是x 2a ,由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线x 2a的左侧,• • 2a 6,解得a 3,故选D.1变式2：斛：函数f x x a 1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开口向上，所以其对。