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构造一次函数证明不等式 一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数的图象可知,如果,则对一切均有.我们将这一性质称为一次函数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些不等式.例1 设、都是绝对值小于1的实数,求证:.分析 因为故可考虑.显然有 根据保号性知,当时,而故,即原不等式获证. 例2 、都是小于的正数,求证:.分析 构造一次函数.令.因变量较多,可用主元法,把当作主元,重新整理得:,将看作关于的一次函数,注意到,当时,当时,这说明,当与时,函数图象上对应的两点、(横坐标分别为、)都在轴上方,由一次函数的保号性可知,当时, 即 例3 已知、,求证:.分析 首先将不等式化为并整理成功之路可将其看成是关于的一次式.证明:构造函数,这里、,则.因为所以,一次函数,当时,图象在轴的上方.这就是说,当、时,有,即.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行:将不等式先移项使右边为零;将不等号左边的式子整理成关于某一未知数的一次式;根据的取值范围,确定与的符号,确定当时的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果.1
