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1、北京市东城区普通校2012届高三3月联考试题 数学（理）2012年3月一、选择题： 1复数的模为 （ ）A B C D 2若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）AB C D 3定义在R上的函数上为增函数，且为偶函数，则（ ） A B C D4设,是两个非零向量，则“向量,的夹角为锐角 ”是“函数的图像是一条开口向下的抛物线”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件5设，则等于 （ ）A BC D6已知直线、与平面、，下列命题中正确的是（ ）A. 且，则； B且，则；C且，则 D且，则.7函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8设与是定义在同一
2、区间 上的两个函数，若对任意，都有成立，则称和在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.若与在上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ） A. 1，4 B. 2，3 C. 2，4 D. 3，4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9的值为 ；10函数的零点所在的区间是，则正整数 ；11数列满足，且，是数列的前项和，则 ；12在算式“”的中，分别填入一个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对应为 ；13若集合，记为抛掷一枚骰子出现的点数，则的概率等于 ；14已知函数 ()，给出下列命题：（1）对，等式恒成立；（2）函数的值域为；（3）若，则一定有；（4）函数在上有三个
3、零点 其中正确命题的序号为_（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分分）设函数（）求函数的最大值和最小正周期；（）设为的三个内角，若，,且为锐角，求的值.16. （本小题满分13分）如图，四边形为正方形，平面，=（I）证明：平面平面；（II）求二面角的余弦值17（本小题满分13分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.
4、8，0.9（）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（）求李明在一年内领到驾照的概率。18函数，过曲线上的点的切线方程为，且点P为切点；（）若在时有极值，求的表达式；（）在（1）的条件下，求在上的最大值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围。19.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.()求动点的轨迹方程；()设直线和分别与直线交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。20. （本小题满分14分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公
5、式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数；高三 （理科）数学评分标准一、选择题: DACA,DBCB填空题：9. ； 10. ；11. ；12. ；13. ；14. （1）、（2）、（3）.三、解答题：15.解：(本小题满分13分) 所以当，即时，取得最大值.的最小正周期 6分故函数的最大值为，最小正周期为. 7分(2) 由，即，解得. 又为锐角，所以. 9分由 求得. 13分16. 解：（本小题满分13分）（I）如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系. 依题意有（1，1，0），（0，0，1），（0，2，0）2分则.所以.即, 故平面.又
6、平面，所以平面平面. 6分 （II）依题意有，,.设是平面的法向量，则即因此可取.设是平面的法向量，则由 同理可取,所以. 故二面角的余弦值为. 13分17解. （本小题满分13分）(1) 的取值为1,2,3,4. 2分 , 6分的分布列为： 8分所以，. 10分（2）李明在一年内领到驾照的概率为： 13分18. （本小题满分14分）解：（1）由得, 1分因为过点的切线方程为所以 ，故 即 3分在时有极值，故=0 由式联立,解得， 5分（2） 6分令得，由，比较大小可知在 上最大值为。10分（3）在区间 上单调递增，又，由（1）知，依题意在-2，1上恒有在-2，1上恒成立。 当时， 当时，当时
7、，0b6综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b0。 14分注：转化成在-2，1上恒成立，借助分离常数及均值不等式的可酌情给分。19（本小题满分13分）（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点 . 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为 6分（II）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则.8分 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 12分 故存在点S使得与的面积相等，且的坐标为.13分20. （本小题满分14分）解：（）设这二次函数, 则 , 由于得 6分因为点在函数的图像上，所以当时，.当时，适合上式，（8分（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的,必须且仅须满足， 10，所以满足要求的最小正整数为10. 14分1
