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1、MATLAB在求解电磁学中方程和实验数据处理方面的 应用 王敏娣（渭南师范学院物理与电气工程学院 物理学 2011级专升本班） 摘要：本文针对求解电磁学中一些计算比较复杂或利用常规方法无法给出解析解的问题，而通过Matlab编程给出其数值解。该程序简短,结果精确,可避免烦琐、复杂的数学运算。 这些电磁学问题包括: 微分方程及超越方程、实验数据处理等。 关键字：Matlab；电磁学； 微分方程；超越方程; 实验数据1引言 MATLAB是一种具有强大的数值分析、矩阵计算、高科技计算程序。其功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的
2、解决方案。在教学中引进计算机数值方法，有助于将一些高深的物理知识深入浅出、生动形象地讲清楚，而且有利于激发学生的学习兴趣，从而提高学习积极性，使问题变的直观、清楚、简洁明了。 本文主要通过对几个具体电磁学问题的处理来体现Matlab在处理计算方面所表达出来的优越性及方便简洁性，从而让大家对Matlab在高等物理计算机解题方面的应用更加清晰、明了。以便在以后类似的解题中更好的运用Matlab这个强大的数学计算工具帮助我们解决那些复杂、繁琐、深奥的物理问题和物理现象。2 MATLAB求解电磁学中的微积分问题、超越方程的举例与实验数据处理分析2.1求解微分方程问题 在一B=0.2T，方向垂直于轨道面
3、向下的均匀磁场中，有一长L=1M，质量M=0.1KG的金属杆，沿一倾a=30金属滑道由静止下滑，如图2.1所示（1）若滑道与自感系数L=0.5H的线圈相连，试编写一计算机程序，考察该金属杆的运动速度及线圈电流随时间的变化关系；如果改变自感L的大小，金属感的运动速度及线圈内的电流将如何变化？（2） 在上个问题中如果将与滑轨相连的自感线圈改为一个的电阻，其他条件不 变，试编写一个计算机程序，考察该金属杆的运动速度及线圈内电流随时间的变化关系；如果改变电阻的R的大小，金属杆的运动速度及线圈内电流的关系将如何变化？ 解（1）：当金属杆下滑时，它在磁场中运动而产生感应电动势并有感应电流通过，其运动方程和
4、回路方程分别是 (1-1) （1-2） （ 图2.1）利用MATLAB 求解 , 程序2.1（1a）如下:（其中，clearglobal K1 K2v=dsolve(D2v+K1*v+K2=0,v(0)=0,Dv(0)=0);%求解微分方程v=simplify(v) %简化结果表达式运行程序得： v =K2*(cos(K1(1/2)*t)-1)/K1因此，金属杆的运行速度为 又由（12）式得： 执行程序2.1（1a），可以得到金属杆的运动速度与时间的关系，如图【1a】所示 图【1a】金属杆的运动速度与时间的曲线图线圈中电流随时间的变化程序2.1(1b)如下：clearK1=0.01; K2=-
5、0.5;dt=0.1;t=0:dt:200;I=BlK2/LK1*(sin(K1(1/2)*t)/K1(1/2)-tplot(I,t);xlabel(I/A);ylabel(t/s)执行程序2.1（1b)后，可以得到线圈中电流随时间的变化关系曲线图【1b】 【1b】线圈内电流随时间的变化关系小结：由上述两条曲线不难看出，无论金属杆的下滑速度还是线圈内的电流均随时间做振荡。事实上，如果将式（1-1）对时间t再一次求导，并代入式（1-2），有 （1-3）很显然，这是速度的谐振动方程，谐振动的周期为 （1-4）由此可见，振荡周期随L的增大而有所增长。解（2）：当金属杆下滑时，它在磁场中运动而产生感应
6、电动势并有感应电流通过，其运动方程和电回路方程分别是 （1-5） (1-6)将（1-6）式代入（1-5）式可得到金属杆下滑的运动方程 (1-7)不难获得这个微分方程的解析解为， （1-8）令（1-7）式=0，可得金属杆下滑的最大速度 （1-9）利用MATLAB求解，计算程序（2.1.(2a)如下：%金属杆运动微分方程;m(dv/dt)=mgsina-(Ba)2v/Rclearm=0.1;a=1;g=9.8;sita=pi/6;B=2; %输入已知条件R=0.5;vmax=m*g*R*sin(sita)/(B*a)2 %计算最大速度f=1/(g*sin(sita)-(B*a)2*x/(m*R);
7、 %积分函数tt=int(f,0,v); %做积分v=0:0.01:0.99*vmax;t=eval(tt); %计算相应于0-0.99*vmax的时间I=B*a*v/R; %计算相应于0-0.99*vmax的电流执行程序2.1(2a)可得出金属杆的运动速度及线圈内电流随时间的变化曲线图如图【2a】所示 a） b) 图【2a】金属杆的运动速度及线圈内电流随时间的变化关系小结：执行程序2.1.(2a)得到，在情况下，这个最大速度是，从曲线图可以看到大约经过0.9s后金属杆就达到这个最大下滑速度。从曲线图还可以看到金属杆中的电流与时间的变化是和金属杆的速度变化一样的，这是由 (1-6）式电路方程所
8、决定的。（2） 将电阻R改为，比较曲线图a)和（b),我们发现在不同的电阻条件下电流可达到的最大值不变，均为0.97A，只是达到这个最大值的时间变缓一些；但金属杆可达到的最大速度随电阻增大而增加，且达到的这个最大值的时间也变得更长一些。这些结果均可从式（1-5）（1-9)所反映的相关关系得到。结论：由图可知电场力为零处电势最大，因此该处的电势梯度（即电场）等于零。 求解微分方程(2)的程序如下 2.2.1求解超越方程问题 三个电荷量均为q的正负电荷，固定在一边长为a=1m的等边三角形的顶角上（如图（2.2.1所示）另一个电荷+Q在这三个电荷的静电力的作用下可沿其对称轴(OX轴)自由移动，（1）
9、求电荷Q的平衡位置和所受的最大排斥力的位置。（2）此外试编写一计算机程序，画出例2的三电荷系统OX轴线上的电势分布，并与上图比较，指出电势最大的位置对应于上图曲线的哪一点，为什么？解（1）： 如图（2.2.1)所示，正电荷Q受到-q的吸引力F1沿OX轴负方向；两个+q对它的排斥力F2和F3的合力沿OX轴正方向(在垂直于ox轴方向的合力为零)，因此作用在Q上的总合力为 (2.1-1) 式中 ( 2.1-2) (2.1-3) 图（2.2）代入F的表达式，得到合力F作为x的函数 （2.1-4）原则上， 令可求出电荷Q收到的零作用力的位置（即电荷Q的平衡位置）；再令 可求出电荷Q所受到的最大排斥力的位
10、置。但这样得出的两个 方程是超越方程，直接求解是比较困难。为此可采用计算机数值解法，画出F(X)-X曲线，从所得出的曲线及利用matlab的屏幕大键可以得到F=0的位置在x=0.94m,以及最大排斥力的位置在x=1.25m.利用MATLAB求解，程序（2.2.1.(1)如下： %点电荷系的静电力计算a=1; %对a赋值，a=1mx=0.5:0.01:3.9; %x的变化范围 r=sqrt(a/2)2+(x-a*sqrt(3)/2).2); %两正电荷到QD的距离rx=(x-a*sqrt(3)/2)./r; %rx为r与ox轴夹角的余弦 F=2*rx./(r.2)-1./(x.2); %计算三个
11、点电荷的总和力 plot(x,F,b,0,4,0,0,k); %画出合力对x的曲线gridxlabel(x/m);ylabel(F/N)执行程序2.2.1.(1)后可以得到电场强度分布曲线图【3a】 图【3a】电场强度分布曲线图 解（2）：由图（2.2.1）的电荷分布可知，在x轴线上任意一点的电势为 （2.1-5） 利用MATLAB求解，程序（2.2.1.(2)如下：%三电荷电势分布clearx=0.1:0.1:6;u=2./sqrt(0.25+(x-0.5*sqrt(3).2)-1./xplot(x,u,b,0,6,0,0,k)xlabel(x/m);ylabel(u/v) subplot(2,2,1)plot(t,v)xlabel(t/s);ylabel(v/m/s)subplot(2,2,2)plot(t,I)xlabel(t/s);ylabel(I/A)执行程序后，可以
