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1、2023高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A2B3C7D82已知是的共轭复数,则（ ）ABCD3函数的图象大致是（ ）ABCD4已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ）ABCD5若
2、集合，则（ ）ABCD6如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ）ABCD7已知等差数列中，则（ ）A20B18C16D148正项等比数列中，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )A1B2CD9下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）AB，CD10已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）ABCD11已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12在函数：；中，最小正周期为的所有函数为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面
3、体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为_.14已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_15函数过定点_.16设函数在区间上的值域是，则的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.18（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.19（12分）设函数，其中是自然对数的底数.（）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.20（1
4、2分）如图所示，在四面体中，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.21（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.22（10分）如图所示,直角梯形中,四边形为矩形,.（1）求证:平面平面;（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：
5、本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【答案解析】先确定集合中元素，可得非空子集个数【题目详解】由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个故选：C【答案点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个2A【答案解析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b【题目详解】i，a+bii，a0，b1，a+b1，故选：A【答案点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3A【答案解析】根据复合函数的单调性，同增异减以及
6、采用排除法，可得结果.【题目详解】当时，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除B、C当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以A正确，D错误故选：A【答案点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.4C【答案解析】求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.【题目详解】当时，令，则；，则，函数在单调递增，在单调递减.函数在处取得极大值为，时，的取值范围为，又当时，令，则，即，综上所述，的取值范围为.故选C.【答案点睛】
7、本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.5A【答案解析】先确定集合中的元素，然后由交集定义求解【题目详解】，.故选：A【答案点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键6A【答案解析】联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.【题目详解】由，得，所以，.由题意知，所以，.因为,所以,所以.所以，所以，故选：A.【答案点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.7A【答案解析】设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可
8、.【题目详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选：A【答案点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.8D【答案解析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q【题目详解】由题意，正项等比数列中，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去，故选D【答案点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题9D【答案解析】图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【题
9、目详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，故为偶函数.故选：D.【答案点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数 (2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称10D【答案解析】首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【题目详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，故.故选：D.【答案
10、点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.11C【答案解析】将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【题目详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【答案点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12A【答案解析】逐一考查所给的函数： ，该函数为偶函数，周期 ；将函数 图象x轴下方
11、的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；函数的最小正周期为 ；函数的最小正周期为 ；综上可得最小正周期为的所有函数为.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【答案解析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径【题目详解】由题意可知：多面体的
12、外接球即正四面体的外接球作面交于，连接，如图则，且为外接球的直径，可得，设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，设外接球的半径为，则可得，即，解得，设正三棱锥的高为，因为，所以，所以，而，所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，所以，设内切球的半径为，即解得：故答案为：.【答案点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.14【答案解析】由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【题目详解】解：因为是抛物线的焦点
13、，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：【答案点睛】此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.15【答案解析】令，与参数无关，即可得到定点.【题目详解】由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，所有过定点.故答案为：【答案点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.16.【答案解析】配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【题目详解】，顶点为因为函数的值域是，令，可得或.又因为函数图象的对称轴为，且，所以的取值范围为.故答案为:.【答案点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【答案解析】（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【题目详解】（1），当时，当时，故.（2）由题知，当时，所以在上单调递减，
