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1、高一数学阅读材料（2）：一元二次方程的根分布问题 一元二次方程的根分布的问题，即一元二次方程有两个正根、有两个负根、两根一正一负等问题，这类问题可通过判别式和韦达定理（代数法）来解，也可以利用数形结合（几何法）来解。现在我们来学习这方面的问题。例1：若关于x的方程为 x 2 +（m3）x + m = 0的两根为x 1 、x 2 ，在下列条件下，求实数m的取值范围。（1）x 10、x 20；（2）x 10、x 20；（3）x 10、x 20；（4）x 10、x 20。分析：关于两个实数a、b，若a0且b0，则必有a + b0且ab0 ；反过来，若a + b0且ab0，则也有a0且b0。同样“a0
2、且b0”等价于“ a + b0且ab0”；“a0且b0”等价于“ ab0”。解：（1）方程有两个正根的条件是： ，解得： 0m1。本题也可以这样来思考，关于x的一元二次方程为 x 2 +（m3）x + m = 0对应的二次函数是y = x 2 +（m3）x + m ，其图象是开口向上、对称轴 y为的抛物线，抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x 1、x 2 （如图所示），由x 10、x 20可知： o x1 x2 x且当x = 0时，y = m 0。故方程有两个正根的条件是： ，解得：0m1。类似（1）的解法，请同学们自己完成（2）、（3）、（4）。练 习 一1关于x方程 x22ax + a =
3、 0有两个正实根，则实数a的取值范围是_.2关于x方程 x2 + ax + a1= 0有异号两实根，则实数a的取值范围是_.3关于x方程 x22(a1）x + a = 0有两个负实根，则实数a的取值范围是_.4当m是什么实数时，关于x的方程mx 2（1m）x + 1 = 0 有实根。5当m是什么实数时，关于x的函数y = mx 2 -（2m + 3）x + 1m的图象与x轴的两个交点在原点的右侧。例2.若关于x的方程为 x 2 +（m3）x + m = 0的两根为x 1 、x 2 ，在下列条件下，求实数m的取值范围。（1）x 11、x 21； （2）x 11、x 21； （3）x 11、x 2
4、1；（4）0x 11x 22；（5）x 12、x 24； （6）x 1、x 2 （1，3）；（7）x 1、x 2有且只有一个在（0，4）内。解：令f（x）= x 2 +（m3）x + m ，则f（x）的图象开口向上。 y 0 1 x （1） 若x 11、x 21，则m必须满足，解得： m 9 。本题也可以利用即，它等价于。所以m必须满足，再用韦达定理得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围。这是代数法。（2）、（3）请同学们自己解答。 y 0 1 2 x（4）若0x 11x 22，则m必须满足，解得：。（5）若x 12、x 24，则m必须满足 y 0 2 4 x，解得： y -1 0
5、3 x（6）若x 1、x 2 （1，3），则m必须满足，解得：0m1。（7）若x 1、x 2有且只有一个在（0，4）内，则有三种情况：1）若x = 4是方程f（x）= 0根，则m =，此时方程另一根为，不合题意。2）若x = 0是方程f（x）= 0的根，则m = 0， y 0 4 x此时方程的另一根为3 （0，4）。3）若0、4都不是方程f（x）= 0的根，则m满足f（4）f（0）0，解得：m0。综上所述，所求m的取值范围是m0 。小结：用数形结合法解一元二次方程的根分布问题，通常从下列几个方面考虑： 开口方向； 判别式； 对称轴； 区间端点的函数值。练习二1 设、是实系数二次方程的两个实数根
6、，试根据表所给出的根的分布情况，画出相应的二次函数图象的位置草图，填写它成立所满足的充要条件。根的分布x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）内图象位置条件2已知关于x的方程为 x22ax + a = 0（a R）。 （1）若方程有两个正根，则a的取值范围是_. （2）若方程一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围是_. （3）若方程一根在（0，1）内，另一根大于2，则a的取值范围是_.3关于x的方程（1 - m2）x2 + 2mx1 = 0的两根一个小于0，一个大于1，则实数m的取值范围是_。4已知关于x的方程 x2 +（m2）x + 2m1 = 0 有一实根在0和1之间 ，则实数m的取值范围是_。5（附加题）若二次函数f（x）= 4x 2 2（p2）x2p 2 p + 1在区间1，1内至少存在一个点C（c，0），使f（c）= 0，求实数p的取值范围。6（附加题）已知集合A = x | 1 x 2 ，B = x | x 2 （a1）x + 10 若AB = B ，求实数a的取值范围。
