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1、旗智教育 辅导预约电话 26560062 265610603.1直线的倾斜角与斜率【知识要点】1.直线的倾斜角与斜率：a.直线的倾斜角：当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。因此直线的倾斜角的取值范围是。b. 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示，及k=。（倾斜角是的直线没有斜率）2.直线的两点式斜率：已知两点，如果，则的斜率为k=（），如果，可知倾斜角为，可知其斜率不存在。3. 直线的倾斜角与斜率之间的转化4. 三点共线问题的斜率的处理5. 两条直线的平行（学习如何
2、判定）6. 两条直线的垂直（学习如何判定）【知识应用】1.方法： a.清楚倾斜角定义中含有的三个条件：（1）直线方向向上 （2）x轴的正方向 （3）小于平角的最小正角 （也可以从运动变化角度来看，直线的倾斜角是有x轴按逆时针方向转动到直线时所成的角。倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度。b. 倾斜率是倾斜角的正切 值，但要注意当倾斜角是时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴。【J】例1 下列命题：（1）任一条直线都有倾斜角 （2）任一条直线都有斜率 (3)若直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 （4）直线的斜率为，则直线的倾斜角是 （5
3、）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （6）直线的倾斜角时，直线斜率分别在这两个区间上单调递增 正确的命题序号是_【L】例2 直线的斜率为k=1-（），求直线的倾斜角的取值范围【C】例3 下列说法正确的是（ ）A 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C 若直线的倾斜角为，则0D 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率2.方法：记忆两点间的斜率公式，找出两点坐标，然后利用斜率公式求解，注意斜率不存在的情况 【J】例1 已知直线经过两点A（2,1），B（m，2），求直线的斜率 【L】例2 若，求经过两点（0，），（，0）的直线的倾斜角 【C】例3 已知A（-2,3）B
4、（3,2），过点P（0，-2）的直线与线段AB没有公共点，求直线的斜率的取值范围。3. 方法：a.倾斜角与斜率的转化：已知（），则k=（相当于求的正值）；已知k，则依据=k且，求（相当于知值求角） b. 倾斜角的范围与斜率的范围之间的对应关系：的范围与k的范围之间的变化，利用三角函数线，实现角的范围与正切值范围之间的转化，但应注意的取值范围。c. 应用斜率公式的几何特征解题的步骤：（1）先画出符合题意的草图再结合图形来考虑 （2）过P点作直线，设想绕P点旋转，考察的倾斜角和斜率的变化规律 （3）通过对的斜率的变化规律的分析，不难发现是两个关键的数据（A、B分别为起止位置上的点）【J】例1 若直
5、线的倾斜角是连接P（3，-5）。Q（0，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线的斜率。【L】例2 点M（x,y）在函数y=-2x+8图像上，当时，求： （1）的最大值和最小值 （2）的取值范围【C】例3 过点A（2，b）和点B（3，-2）的直线的倾斜角为，求b的值 4. 方法：在解析几何中，通常利用斜率相等来处理三点共线的问题。因为直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，所以只要算出三个点中两个与两个点组成的斜率相等，那么就得到三点共线。 【J】例1已知三点A（a，2），B（5,1）C（-4,2a）在同一直线上，求a的值 【L】例2 已知A（x，2），B（
6、5,1）C（-4,2x）在同一直线上，求x 【C】例3 两个定点和一个动点P(x，y)，若P与、共线，则x、y应满足什么条件？ 5. 方法：对于两条不重合的直线、，其斜率分别为，有/,（注意：上面两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合。当斜率不存在时，两条直线都垂直x轴且不重合，可推的，所以，两条不重合直线平行的判定结论就是（前提是拥有的斜率存在且不重合）或和斜率都不存在。 【J】例1 下列说法正确的有（ ） A 若两直线斜率相等，则两直线平行 B 若，则 C 若两直线中有一条直线的斜率不存在，令一条直线斜率存在，则两直线相交 D 若两直线斜率都不存在，则两直线平行 【L】例2 判断下列直线是
7、否平行：经过两点A（2,3），B（-1,0）的直线，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线 【C】例3 试确定m的值，使过点A（m，1），B（-1，m）的直线过点P（1,2），Q（-5,0）的直线平行？6. 方法：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果他们的斜率之积等于-1，那么他们互相垂直（注意：上面两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于0，否则由=的式子就没有意义。两条直线中，一条斜率不存在，一条斜率等于0，两条直线垂直。这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于0. 【J】例1 判断下列直线是否垂直：经过两
8、点A（3,1），B（-2,0）的直线与经过点P（1，-4）且斜率为-5的直线 【L】例2 试确定m的值，使过点A（m,1）,B(-1,m)的直线与过点P（1,2）Q（-5,0）的直线垂直。 【C】例3 已知四边形ABCD的顶点A（2,2+），B（-2,2），C（0,2-），D（4,2），求证四边形ABCD是矩形总结： （1）掌握直线倾斜角的定义、范围和斜率，及斜率的坐标公式，并将用这些公式和概念解决有关问题，重点利用斜率公式解题。 （2）掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法，尤其要注意它们各自的前提条件。练习题： （1）已知直线的斜率为k=1-，mR，则直线的倾斜角的取值范围 （2）若直线AB斜率为2，将直线绕点A按逆时针方向旋转，所得直线斜率是（ ） A -3 B 3 C D - （3）已知直线经过点A（2，a），B（a-1,3）,直线经过点C（1,2），D（-2，a+2） a. 若，求a的值 b. 若，求a的值 （4）已知a0，若平面内三点A（1，-a），B（2，），C（3, ）共线，求a （5）在平行四边形ABCD中，已知A（3，-2）B（5,2）C（-1,4）求D的坐标5
