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1、2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三最有可能考的30题1. 已知向量.（1）若,求的值；（2）记，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足，求函数f(A)的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1） 4分 7分 （2）（2a-c）cosB=bcosC 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 8分 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC 2sinAcosB=sin(B+C) ， 11分 12分又, 13分故函数f(A)的取值范围是. 14分2. 已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量
2、=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的最小值.【答案】(1) 或(2) 【解析】解：设（1分）与夹角为，有，则（3分）由解得或即或（7分）（）由垂直知（8分）由2BAC 知B ，AC, 若, 则 （12分） 当时, 取得最小值即 （14分）3. 如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，求【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）4【解析】解：（1）证明： 平面平面,平面平面=，平
3、面， 平面， , 又为圆的直径， 平面. 5分 （2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形， ，又平面，平面，平面. 9分 (3)过点作于，平面平面，平面， 11分 平面， 14分4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离。【答案】（1）详见解析（2）【解析】解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分别取A
4、B、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以
5、。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于5. 如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。（）若圆D过两点，求椭圆C的方程；（）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。（）在（）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。【答案】（）（）（）【解析】解：（）圆与轴交点坐标为，故， 2分所以，椭圆方程是： 5分（）设直线与轴的交点是，依题意，即,（）直线的方程是，6分圆D的圆心是，半径是，8分设MN与PD相交于，则是MN的中点，且PMMD，10分当
6、且仅当最小时，有最小值，最小值即是点到直线的距离是，12分所以的最小值是6. 在平面直角坐标系中 ，已知以为圆心的圆与直线：，恒有公共点，且要求使圆的面积最小.（1）写出圆的方程；（2）圆与轴相交于A、B两点，圆内动点P使、成等比数列，求的范围；（3）已知定点Q（，3），直线与圆交于M、N两点，试判断 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线的方程，若不存在，给出理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】解：（1）因为直线：过定点T（4，3） 由题意，要使圆的面积最小, 定点T（4，3）在圆上， 所以圆的方程为. 4分（2）A（-5，0），B（5，0），设，则（1），由成等比数列得，即，整
7、理得：,即 （2）由（1）（2）得：， 9分（3） . 11分由题意，得直线与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（，3），直线：，则当时有最大值32. 14分即有最大值为32，此时直线的方程为. 16分7. 已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）求动点所在的曲线方程；（2）若存在点，使，试求的取值范围；（3）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值【答案】（1）详见解析（2）（3）最小值为，最大值为1.（3）当时，其曲线方程为椭圆 由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得， 同理可求得， 10分 面积= 12分令则令所以，即 14分当时，可求得,
8、故，故的最小值为，最大值为1. 16分8. 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？【答案】（1）g（x）=
9、，h（x）=（0x216，xN*）（2）详见解析（3）加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129【解析】解：（1）由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216x）人.g（x）=，h（x）=，即g（x）=，h（x）=（0x216，xN*）. 4分（2）g（x）h（x）=. 0x216，216x0.当0x86时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）；当87x216时，4325x0，g（x）h（x）0，g（x）h（x）.f（x）= 8分（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.当0x86时，f（x）递减，f（x）f（8
10、6）=. f（x）min=f（86），此时216x=130.当87x216时，f（x）递增，f（x）f（87）=.f（x）min=f（87），此时216x=129. f（x）min=f（86）=f（87）=.加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、12916分9. 已知关于的一元二次函数.（1）设集合P=1，2， 3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求上是增函数的概率.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当0且 3分若=1则=1， 若=2
11、则=1，1； 若=3则=1，1； 5分事件包含基本事件的个数是1+2+2=5所求事件的概率为. 7分（2）由（）知当且仅当且0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分. 由 11分所求事件的概率为. 14分10. 设，等差数列中，记=，令，数列 的前n项和为.（）求的通项公式和；（）求证：；（）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（）（）详见解析（）m=2,n=16,【解析】解：（）设数列的公差为，由,.解得，=3 Sn=.() ()由(2)知， ， 成等比数列. 即当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列.综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列.11. 下表给出的是由）个正数排成的n行n列数表，ij表示第i行第j列的一个数，表中第一列的
