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1、数学题根研究 万尔遐 （一） 题根是什么一、题根是个问题题根不是概念，不是结论，不是一般性的话题、标题、主题。从句法上讲，话题、标题、主题都是陈述句，而题根是个疑问句，它是个问题。二、题根是个题目问题规范化后就是一个题目，就像讲课时的例题，课本上的习题，考卷上的考题，会场上的讨论题或研究题。 三、题根是题目的根基题根不是一个孤立的题目，也不是一堆题中的一个单一的个体。它是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表。抓到了一个题根，就等于抓到了这个题族，这个题群，这个题系。四、题根有生长性题根不同于题源。题源那里似乎有现成的题目，只是在源源不断地流出来。而题根不然，在那里，现在不一定有现
2、成的题目，众多的新题目要从题根上长出来。因此题根不是题库而是题圃。五、题根有渗透性 题根不刻意对学科内容在形式上的覆盖，但着重考虑题根与题根之间自然的、深刻的、纵横的渗透。因为覆盖的只是一个“平面”，而渗透将得到的一个“三维立体”。 因此，题根之前不要考点罗列，以便让题根“自主地”去进行“地下串联”。六、题根有实用性题根在课堂教学中应是课堂“主例”，而成为课堂的“课根”。课堂的其他例题要视作是“主例”的迁移、补充和拓展。 题根在考场上应成为“考根”，它应与考卷上的板块考题相约、相吻、相关、相近，而不一定要相同。 七、题根的可接受性内容在教纲和考纲范围内，难度在中等水平上（0.65）。题根不是高
3、难题（题顶），也不是简答题（题支或题叶）。题根是学生很想得到、而又不能伸手而得、却是要跳起来摘到的果实。因此，题根在“行文”上要特别讲究科学性与趣味性的结合。使学生在数学的学习中尝到“苦中之乐”。（二）数学题根的几种取向一、特殊为一般之根直三角形为一般三角形的根. 所谓解三角形，就是将一般三角形直角化. 二、二元为多元之根二元集合，二元平均不等式，二次式为二次型之根.二维为多维之根，平面为空间之根.三、形象为抽象之根模特为概念之根.三棱柱与三棱锥的侧棱为三平面两两相交的交线之根. 文氏图为集合运算之根，杨辉三角形为组合计数之根. 四、正弦线是正弦函数之根三角函数线为三角函数性质之根和角公式si
4、n(+)=sincos+cossin为三角变换之根五、正方体为多面体之根正方体四面体（三棱锥）多面体 六、例题为习题之根 H2=a，b为H3=a，b，c的根；为比较法证不等式的根.七、公式为变式之根定理为推理之根 二项式定理(a+b)n 导出的“母函数”.线面垂直定理导出三垂线定理八、确定为变化之根二点线，三点圆，四点确定抛物线，椭圆、双曲线的一般确定要五点Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0九、汇聚为发散根曲线与方程，椭圆为例 焦半径公式 r1 = a+ex，r2=a-ex为解椭圆之根十、有限为无限之根 数列的极限，连续与可导.自然数函数有理数实数 十一、内容为方法之根典型的数学方法与
5、典型的数学内容相结合，就像典型的产品与典型的工艺相结合一样.如配方法与二次型相结合，分析法与不等式相结合.十二、猜想为论证之根 数学推理始于猜想，猜想在前，论证在后.在论证中受阻时，可以回头是岸：对具体问题进行猜想.（三） 题根 题干 题系一、题海无边 回头是岸跨越考场，到底要练多少道题目？有说一千道，有说一万道，有说越多越好！ 多就好吗？泛滥成海，迷茫无边，考生们在苦海中挣扎着，期盼着灯塔，期盼着航标！其实，题目多到一万，既不可行，也无必要。就拿数学来说，考点不到100个，理想地讲，100道题就行了。回到实际，乘以保险系数3，300道题目已经足够了。古人谈学诗：熟读唐诗300首，不会作诗也会
6、吟。我们这是谈解题：经典题练300道，不会编题也会解！有儿歌唱道：题成海，卷成洋，题海战术真荒唐，航海本来靠航线，谁把海水灌肚肠？题有系，解有方，逃离题海变轻装，良师给你神奇药，对症只需一口汤！二、题根 题干 题支 题系300道经典题组成题干，平常所说的学科主干知识在此呈现。一张数学考卷上的22道题目，也在这里出出进进，若即若离，若隐若现。 300道经典题并不平行或平等，其中不少的题目有共同的祖根，即题根。高中数学共分15章，每章只1个中心，1个中心隐藏着1个题根。高中数学的题根大约有15个左右，其他题目由它长出，其中长成主干的题目称为题干（300道左右）。 300道题干再长出分支，由1繁3，
7、即高中数学约有900个左右的题支。就这样，题根，题干，题支，组成高中数学的题系。平常说，高中数学有1000道题目，大概就是这样来的。三、一揽无余 天下试题 题能生题，以至无穷；题有体系，可用有限把握无限。 （1）300道经典题为题干，搭起题系的框架。按15章划分，每章约20道经典题目。 （2）15道题根为“题王”，将每章20道经典题分别作捆扎，视繁为简，视厚为薄，抓题先抓纲，擒题先擒王。 （3）将300道题目作变通，作迁移，作繁殖，举一反三（不必72变），得900道题支。题支多而不乱，按300户分灶，按15题根归谱，经纬分明，错落有致，形成漂亮的图案。 就这样，15题根，300题干，900题支，以此有限的千道题系，可包揽天下无穷无尽的试题。
