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1、数学题根研究 万尔遐 (一) 题根是什么一、题根是个问题题根不是概念,不是结论,不是一般性的话题、标题、主题。从句法上讲,话题、标题、主题都是陈述句,而题根是个疑问句,它是个问题。二、题根是个题目问题规范化后就是一个题目,就像讲课时的例题,课本上的习题,考卷上的考题,会场上的讨论题或研究题。 三、题根是题目的根基题根不是一个孤立的题目,也不是一堆题中的一个单一的个体。它是一个题族的根祖,一个题系中的根基,一个题群中的代表。抓到了一个题根,就等于抓到了这个题族,这个题群,这个题系。四、题根有生长性题根不同于题源。题源那里似乎有现成的题目,只是在源源不断地流出来。而题根不然,在那里,现在不一定有现
2、成的题目,众多的新题目要从题根上长出来。因此题根不是题库而是题圃。五、题根有渗透性 题根不刻意对学科内容在形式上的覆盖,但着重考虑题根与题根之间自然的、深刻的、纵横的渗透。因为覆盖的只是一个“平面”,而渗透将得到的一个“三维立体”。 因此,题根之前不要考点罗列,以便让题根“自主地”去进行“地下串联”。六、题根有实用性题根在课堂教学中应是课堂“主例”,而成为课堂的“课根”。课堂的其他例题要视作是“主例”的迁移、补充和拓展。 题根在考场上应成为“考根”,它应与考卷上的板块考题相约、相吻、相关、相近,而不一定要相同。 七、题根的可接受性内容在教纲和考纲范围内,难度在中等水平上(0.65)。题根不是高
3、难题(题顶),也不是简答题(题支或题叶)。题根是学生很想得到、而又不能伸手而得、却是要跳起来摘到的果实。因此,题根在“行文”上要特别讲究科学性与趣味性的结合。使学生在数学的学习中尝到“苦中之乐”。(二)数学题根的几种取向一、特殊为一般之根直三角形为一般三角形的根. 所谓解三角形,就是将一般三角形直角化. 二、二元为多元之根二元集合,二元平均不等式,二次式为二次型之根.二维为多维之根,平面为空间之根.三、形象为抽象之根模特为概念之根.三棱柱与三棱锥的侧棱为三平面两两相交的交线之根. 文氏图为集合运算之根,杨辉三角形为组合计数之根. 四、正弦线是正弦函数之根三角函数线为三角函数性质之根和角公式si
4、n(+)=sincos+cossin为三角变换之根五、正方体为多面体之根正方体四面体(三棱锥)多面体 六、例题为习题之根 H2=a,b为H3=a,b,c的根;为比较法证不等式的根.七、公式为变式之根定理为推理之根 二项式定理(a+b)n 导出的“母函数”.线面垂直定理导出三垂线定理八、确定为变化之根二点线,三点圆,四点确定抛物线,椭圆、双曲线的一般确定要五点Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0九、汇聚为发散根曲线与方程,椭圆为例 焦半径公式 r1 = a+ex,r2=a-ex为解椭圆之根十、有限为无限之根 数列的极限,连续与可导.自然数函数有理数实数 十一、内容为方法之根典型的数学方法与
5、典型的数学内容相结合,就像典型的产品与典型的工艺相结合一样.如配方法与二次型相结合,分析法与不等式相结合.十二、猜想为论证之根 数学推理始于猜想,猜想在前,论证在后.在论证中受阻时,可以回头是岸:对具体问题进行猜想.(三) 题根 题干 题系一、题海无边 回头是岸跨越考场,到底要练多少道题目?有说一千道,有说一万道,有说越多越好! 多就好吗?泛滥成海,迷茫无边,考生们在苦海中挣扎着,期盼着灯塔,期盼着航标!其实,题目多到一万,既不可行,也无必要。就拿数学来说,考点不到100个,理想地讲,100道题就行了。回到实际,乘以保险系数3,300道题目已经足够了。古人谈学诗:熟读唐诗300首,不会作诗也会
6、吟。我们这是谈解题:经典题练300道,不会编题也会解!有儿歌唱道:题成海,卷成洋,题海战术真荒唐,航海本来靠航线,谁把海水灌肚肠?题有系,解有方,逃离题海变轻装,良师给你神奇药,对症只需一口汤!二、题根 题干 题支 题系300道经典题组成题干,平常所说的学科主干知识在此呈现。一张数学考卷上的22道题目,也在这里出出进进,若即若离,若隐若现。 300道经典题并不平行或平等,其中不少的题目有共同的祖根,即题根。高中数学共分15章,每章只1个中心,1个中心隐藏着1个题根。高中数学的题根大约有15个左右,其他题目由它长出,其中长成主干的题目称为题干(300道左右)。 300道题干再长出分支,由1繁3,
7、即高中数学约有900个左右的题支。就这样,题根,题干,题支,组成高中数学的题系。平常说,高中数学有1000道题目,大概就是这样来的。三、一揽无余 天下试题 题能生题,以至无穷;题有体系,可用有限把握无限。 (1)300道经典题为题干,搭起题系的框架。按15章划分,每章约20道经典题目。 (2)15道题根为“题王”,将每章20道经典题分别作捆扎,视繁为简,视厚为薄,抓题先抓纲,擒题先擒王。 (3)将300道题目作变通,作迁移,作繁殖,举一反三(不必72变),得900道题支。题支多而不乱,按300户分灶,按15题根归谱,经纬分明,错落有致,形成漂亮的图案。 就这样,15题根,300题干,900题支,以此有限的千道题系,可包揽天下无穷无尽的试题。