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1、毕业论文（设计）题目：中学数学解题方法研究反证法 English Title : Study On The Reductio Ad Absurdum In Secondary School Mathematics 所在学院 理学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 081011班 学 号 08101112 作者姓名 黄俊福 指导教师 李琪老师 二一二年六月东华理工大学毕业设计（论文） 摘 要摘 要 反证法在中学数学解题过程中的一种极其重要的数学方法，特别是对于一些直接证明比较难的问题来说，使用反证法去证明，将会变成非常简单，思路非常的清晰，因此反证法在中学数学解题得到了较为广泛的应用。反
2、证法它主要是运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。因此在中学数学解题过程中，常使用反证法的学生能够更容易通过逻辑推理获得答案，进一步巩固学习成绩，提升逻辑思辨能力。 本文主要介绍反证法的概念、来源、本质、基本思想以及反证法在中学数学中各个方面的一些应用。对于反证法的使用时注意事项和使用反证法时的解题步骤做了一些的论述。关键字：反证法；立体几何；平面几何- 1 -东华理工大学毕业设计（论文） ABSTRACTABSTRACT A reductio ad absurdu
3、m in secondary school mathematics problem solving process is extremely important mathematical methods, especially for directly prove more difficult, the use of reductio ad absurdum to prove, will become very simple, very clear ideas, so the reductio ad absurdum inthe secondary school mathematics pro
4、blem solving has been more widely used. The reductio ad absurdum that it is mainly using the logic of reverse thinking, problem solving, it is first put forward a contrary assumption and the conclusion of the proposition. Then proceed from this assumption correct reasoning, lead to contradictions, t
5、hereby negating the opposite assumption, to achieve a certainly correct the original proposition. In secondary school mathematics problem solving process, students often use reductio ad absurdum can be more easily obtained through logical reasoning answer to further consolidate the academic performa
6、nce, enhance logical thinking ability. This paper describes the reductio ad absurdum of the concept, the source, nature, the basic idea of reductio ad absurdum in mathematics in secondary schools in all aspects of the application. Some discussion of the use of reductio ad absurdum of the Notes and t
7、he use of reductio ad absurdum of the problem-solving steps.Key words: reduction to absurdity; solid geometry; geometry- 1 -东华理工大学毕业设计（论文） 目 录目 录摘 要I绪 论11. 反证法的概念与来源21.1 反证法的概念21.2 反证法的来源21.2.1 古希腊的反证法21.2.2 中国古代数学的反证法31.2.3 反证法的其他来源42. 反证法的本质及步骤52.1 反证法的本质52.2 反证法的定义52.3 反证法的步骤53. 反证法的应用63.1 反证法在代数
8、中的应用63.2 反证法在平面几何中的应用83.3 反证法在立体几何中的应用104. 毕业实习中的案例145. 总结与展望18致 谢19参考文献20东华理工大学毕业设计（论文） 绪 论绪 论近几年，随着大家对教育的关注，中、高考成为学生们展示自己个人实力的一个重要平台，而数学将在这个平台上起着非常重要的作用，因而数学的解题方法的探讨以及熟练的运用这些解题方法则成为学生们的制胜法宝，现如今，中学数学教材之中，数学思想贯穿于整个教材的每个部分，数学方法是数学思想的媒介，将数学试题和数学思想结合起来，几乎已经渗透到了所有的数学教学过程之中。运用适当的数学解题方法，通过正确的分类可使复杂的问题得到完整
9、、清晰、严密的解答。而反证法在数学领域一枝独秀。反证法不仅仅在初等数学中有着非常广泛 的应用，就是在高等数学中也可能具有特殊作用。数学中的某些重要结论，从最基本的性质和定理，对于某些难度较大的世界名题，往往都要用到反证法去证明的。因此，我选择了反证法这个论文方向，希望能够通过对反证法的研究，使我们能够更加清楚地认识到反证法这种方法，对培养中学生逆向思维，解决数学问题提供了一个很好的方向。这篇论文主要先从反证法的概念，来源，本质的一些反证法的概念出发，通过对于反证法的本质的理解，使它在中学数学中的各个方面、领域中的应用。- 1 -东华理工大学毕业设计（论文） 反证法的概念与来源1. 反证法的概念
10、与来源1.1 反证法的概念反证法是一种间接法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定愿命题正确的一种方法。1.2 反证法的来源1.2.1 古希腊的反证法 反证法,无论是逻辑上的还是数学上的,它的概念都是一致的。即是反证法是证明的一种方法。西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下,认为万物皆数。用整数和几何图形构建一个宇宙图式。但随着这个表征数学史第一次危机“ 2”的问题的出现,使得希腊人重新审视了自己的数学,这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何。第一次危机使人们不能再依靠图形和直观了,须要更多的依靠推理和逻辑;同时危机还使几何
11、学拒绝了无穷小。此时西方的数学成为以证明为主的证明数学,他们要准确的数学,或者是他们推崇准确性的数学。表现形式就是:逻辑、演绎的体系。由此可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。即使希腊人也讲计算,但是他们认为计算是初等的、低级的，是几何证明以后的一个应用而已。他们重视数学的演绎和证明,提出:希腊人除了重视演绎和逻辑的证明外也研究数值计算(尤其在希腊后期) ,但是希腊数学界认为数值计算是一种理论证。形式逻辑的发展与反对数学应用在实践的思潮对数学的影响深刻,柏拉图提出数学应从自明的绝对假设开始,通过系列的逻辑推论，而在最后达到所要求的结论。亚里士多德更是努力地把形式逻辑应用于数学,第一，首先他研
12、究数学概念,而且他不同意毕达哥拉斯学派“万物皆数”的观点；第二,他先承认通则(公设) ,他提出数学的证明只是把原有道理画出来,问题就可以解决了。几何原本就是在这样的一种情况下的产物。西方数学界在处理圆的面积时采用了与同东方截然不相同的演绎证明方法,同时也体现出他们所需要的“不要近似”思想。西方欧克托斯的反证法就是基于两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方的这个结论。“萨谢利读欧几里得的原本,简直备他得力的归谬法吸引了, 在萨谢利的逻辑证明的内容中,有创建的是:把归谬法应用于欧几里得平行公设的研究,而且被允许印一本标题为排除任何谬误的欧几里得的小书”,当然，我们这里所说的归谬法即我这所研究反
13、证法,因此这是非欧几何的肇始，并且也说明早在几何原本中就已经开始运用反证法了。1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中,本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备,尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风,但是他们大多使用的都是类似于反驳,当然其中使用到反驳中常使用的归谬法,刘徽受到它的影响下，在他为九章算术作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法。但是应该指出：明确的反证法的用法却是凤毛麟角。在这一点上与西方存在着差别极大。而西方无论是在逻辑中,还是数学中都认为反证法是一种普通的证明方法。而在中国数学中,即便是刘徽这位
14、我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师,也只是用到了反驳(如:举反例)。证明与反驳在科学的发现中同样重要。证明只能用于证实猜想，因为这是个验证过程，通常不会有新的发现。当然这并不绝对,因为在证明的过程中会用到一些新知识，或因之开辟出新领域。那些坚持只有猜想才会有创新、发明的人经常忽视这一点，同时,鉴于反证法的特殊性借助一个逻辑中介证实的过程，使用反证法的过程中可以有所发现，它不仅解决许多难以证明的课题,而且有时运用反证法还可以为数学开拓出新的天地。例如：人们在试图证明第五公设的过程中，由于考虑到它可能有其它的定理或公设推出，但是直接证明这个猜想并不容易，于是出于对反证法逻辑的信任,采用反证法证明，但一直推不出矛盾，在这一事实的启发下，逐步形成了非欧几何的思想，有利地促进了几何学的发展。穷竭法和反证法并未真正解决无限问题。邹大海先生的工作中提到“刘徽未将求微数的程序进行到底，可见他对于无限，也只是把它作为处理问题的手段和方法，而没有把它本身作为研究对象。刘徽仍未摆脱中国古算讲求实际的传统影响，在他的方法
