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1、1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用一、预习达标。1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值二、课前达标。 1.函数y=2x3x212x+5的极大值和极小值分别是 （ ） A12，15B5, 4C4, 15D5, 16 2
2、.函数y=x3+12x2+36x+24的极值为 （ ） A24，8B14, 6C34, 4D21, 113.做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为_时，用料最省。4.y=的最大值为_.5.已知函数在处有极值，那么 ； 三、例题。例1求y=x34x+4的极值例2求y=(x21)3+1的极值例3在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？四、双基达标。1.函数有极值的充要条件是 （ ）A B C D2.函数 （的最大值是（ ） A B -1 C0 D13. 函数已知时取得极值
3、，则= ( )A2 B3 C4 D54.函数的最大值为（A） （B）e （C） （D）105、已知函数的导数为，且图象过点（0，-5），当函数取得极大值-5时，x的值应为 A. 1 B. 0 C. 1 D. 16. 函数y = f ( x ) = x3ax2bxa2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。7. 已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是 8. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是 9.设函数（）求的单调区间和极值；（）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.（）已知当恒成立，求实数k的取值范围.10. 已知在时有极大值6，在时有极小值，求的
4、值；并求在区间3，3上的最大值和最小值.五、能力达标。1. 已知函数在点处取得极小值，其导函数的图象经过点，如图所示.则= 2.2. 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.六、数学快餐。1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润1.3.3导数的实际应用二、课前达标。1.A 2.
5、A 3. 4 4. 2+2 5. 三、例题。例1求y=x34x+4的极值解：y=(x34x+4)=x24=(x+2)(x2) 令y=0，解得x1=2，x2=2当x变化时，y，y的变化情况如下表-2(-2,2)2+00+极大值极小值当x=2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=例2求y=(x21)3+1的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1当x变化时，y，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+无极值极小值0无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f(x).第二，令
6、f(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 例3在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（
7、接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值值点四、双基达标。1.D 2. D 3.D 4.A 5. B 6、4 -11 7、 8、9. 解:（） 当，的单调递增区间是，单调递减区间是当；当 （）由（）的分析可知图象的大
8、致形状及走向（图略）当的图象有3个不同交点，即方程有三解（）上恒成立令，由二次函数的性质，上是增函数，所求k的取值范围是 10解：（1）由条件知 （2）x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3004610由上表知，在区间3，3上，当时，时，五、能力达标。1.解析：解法一： （）由图象可知，在（，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.()由得解得解法二:()同解法一.()设又所以 由,即得,所以.2. 解析：解法一： （）由图象可知，在（，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.()由得解得
9、解法二:()同解法一.()设又所以 由,即得,所以.六、数学快餐。1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，从而h=2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 2.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点
