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1、【专题九】分类讨论的思想【考情分析】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”【知识交汇】分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行
2、统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤确定讨论对象和确定
3、研究的全域；对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；归纳总结，整合得出结论4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得
4、结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。【思想方法】一、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论【例1】设，函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程;(2) 当时,求函数的最小值.【解析】（1）当时， 令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线在处的切线方程为：。 （2）当时， ，恒成立。 在上增函数。故当时， 当时，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，且此时(iii)当
5、；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为【点评】本题涉及的知识点有带绝对值的式子，因此要了解绝对值概念的定义，进行分类讨论。二、根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准【例2】求和=【解析】：当时，； 当时，此题为等比数列求和， 若时，则由求和公式，。 若时, 。综合可得【点评】：由于等比数列定义本身有条件限制，等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分
6、类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为和；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。三、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥
7、分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=2=，故VABCD=1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，则V=.四、问题中的条件是分类给出的【例4】（2009年湖北卷理科）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得
8、m=5五、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2a5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。解（1）设日销售量为则日利润（2）当2a4时，33a+3135，当35 x41时，当x=35时，L（x）取最大值为当4a5时，35a+31
9、36，易知当x=a+31时，L（x）取最大值为综合上得用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）。做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层类别不重复、不遗漏的分析讨论.”【专题演练】1已知集合A=xx23x+2=0,B=xx2ax+(a1)=0，C=xx2mx+2=0，且AB=A，AC=C，则a的值为 ，m的取值范围为 .2给出定点A（a,0)（a0）和直线l：x=1，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.3. 设函数
10、f(x)=x2+xa+1，xR.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.4. 设，函数若的解集为A，求实数的取值范围。【参考答案】1. 解: A=1,2,B=x(x1)(x1+a)=0,由AB=A可得1a=1或1a=2；由AC=C，可知C=1或.答案：2或3 3或（2，2）2. 解：依题意，记B（1，b)，(bR），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx.设点C(x,y)，则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得y= 依题设，点C在直线AB上，故有由xa0，得 将式代入式，得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0，
11、则(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0则b=0,AOB=，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为（1a）x22ax+(1+a)y2=0(0xa(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0x1 此时方程表示抛物线弧段；(ii)当a1，轨迹方程化为 所以当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段.3. 解：(1)当a=0时，函数f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a0时，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2a+1.f(a)f(a),f(a)f(a)此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）当xa时，函数f
12、(x)=x2x+a+1=(x)2+a+若a，则函数f(x)在(,a上单调递减.从而函数f(x)在（,a上的最小值为f(a)=a2+1若a，则函数f(x)在（,a上的最小值为f()=+a，且f()f(a).当xa时，函数f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，则函数f(x)在a,+上的最小值为f()=a，且f()f(a)；若a，则函数f(x)在a,+)单调递增.从而函数f(x)在a,+上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a时，函数f(x)的最小值为a；当a时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a时，函数f(x)的最小值是a+.4. 解：由f（x）为二次函数知，令f（x）0解得其两根为由此可知（i）当时，的充要条件是，即解得；（ii）当时，的充要条件是，即解得；综上，使成立的a的取值范围为。
