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1、(完整word版)数学集合与函数综合复习培优集合与函数综合复习目 录专题一 集合及其基本运算专题二 函数的概念与表示法专题三函数的定义域与解析式专题四 函数的值域和最值专题五 函数的单调性专题六 函数的奇偶性与周期性专题七 函数的图象与变换专题八 反函数与二次函数专题九 指数式、对数式专题十 指数函数与对数式专题十一 幂函数专题十二 函数与方程专题复习 集合与函数总复习 专题一 集合及其基本运算(培优版）【知识要点】1. 集合的概念：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。2. 集合的特性：(1)确定性；(2)无序性；(3)唯一性(元素不
2、重复性)3. 集合的表示法：(1)列举法 (2)描述法(3)图示法4. 特殊集：自然数集记作；整数集记作；正整数集记作或；有理数集记作；实数集记作；空集(没有元素的集合)记作；5. 集合的基本运算并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：交集; 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集.记作：补集：如果给定的集合A是全集U中的一个子集，由全集U中的不属于A的其他的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集。新定义运算：在考试中会遇到一些关于集合的临时定义的新运算，如。【典例精析】题型一、集合的基本概念和表示方法例1.
3、 （1）.求使为整数的非负整数的值的集合. （2).用集合表示不等式组的解集。题型二、集合的基本性质例2. 设集合若,求的值.例3. 已知集合 (1)若是空集,求的取值范围;(2) 若是单元素集,求的取值;(3) 若至多有一个元素,求的取值范围.题型三、集合的基本运算例4. （1）已知，则 （2）已知，,则（ ） A. B. C. D. 例5. 设，且，求的值例6. 设集合， ， ，求实数的取值范围例7. 集合，（1）若，求的值；（2）若，求的值例8. 已知集合，设集合，且满足，求，的值。题型四、用韦恩图解题例9. 某班有学生35人，有15人报名参加了物理竞赛，18人报名参加了数学竞赛，在他们
4、当中，同时参加这两科竞赛的有7人，那么，有多少同学既没有参有加物理竞赛， 又没有参有加数学竞赛?【优化训练】一、选择题1. 设集合，则集合（ ） A B C D 2. 若全集且，则集合A的真子集共有（ ）个。 A、3 B、5 C、7 D、83. 设集合，则（ ） A B C D 4. 已知集合，且，则的值为（ ）A1B1 C1或1 D1或1或05. 设集合，若，则k的取值范围（ ） （A） （B） （C） (D) 6. 如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A、 B、 C、 D、 7. 定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为（ ） （A）0 （B）
5、6 （C）12 （D）188. 设，若，则（ ）（A） （B） （C） (D)二、选择题9. 设集合，,则= .10. 已知集合，则集合 . 11. 设，若，则 。12. 已知集合那么集合= 。13. 设集合,且，则实数的取值范围是 14. 下列5个命题：，,其中正确的序号是 。15. 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.16. 全集且，则 。三、解答题17. 已知全集，若，求实数的值18. 已知集合，全集为实数集R.(1) 求，；(2) 如果，求的取值范围。19. 设是两个非空实数集合,定义.,则的
6、元素个数是多少?20. 已知集合,.若，求实数的取值范围.21. ()已知两正整数集合,满足,若， 中所有元素之和为124，求的值。专题二 函数的概念与表示法（培优版）【知识要点】1 函数的概念：已知A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这个对应f叫做集合A到集合B的一个函数.通常记为注：特征:集合A中元素的任意性;集合B中元素的唯一性.函数的三要素:定义域、值域、对应法则.符号的含义是：时函数的值.2 函数的表示法: 列表法:用表格的形式表示两个变量之间的函数关系的方法; 图象法:用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法; 解析法
7、:用解析式把两个变量间的函数关系表示出来的方法.3 分段函数:在定义域的不同部分有不同的对应法则的函数,称为分段函数.4 复合函数:如果y是u的函数,即u是x的函数,即那么y关于x的函数叫做和的复合函数,其中为中间变量.【典例精析】题型一、函数的概念(1).抓住函数是特殊的映射例1. 给出下列四个命题:.其中是函数的有( ) (A) (B) (C) (D)例2. 已知集合是从定义域A到值域B的一个函数,求【类型（1）规律方法总结】：抓住函数的两个特征:集合A中元素的任意性;集合B中元素的唯一性.(2).抓住函数的三要素（定义域、值域、对应法则）例3. 下列各题中的两个函数是否表示同一函数。 (
8、1); (2) （3） （4） (5) （6）【类型（2）规律方法总结】：抓住函数三要素判断函数异同，其中定义域与解析式是函数两核心要素，这两个要素共同决定第三要素值域。因此要判断两函数是否为同一函数，只需判断其定义域与值域是否均相同即可。题型二、分段函数相关问题(1)求函数值问题例4. 已知，则的值是 。变式：，若，则 。(2)方程问题例5. 设若则关于的方程的解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)4(3)不等式问题例6. 已知则不等式的解集是 .【题型二规律方法总结】：由于分段函数在不同的区间上具有不同的函数表达式，故对分段函数的函数值、方程、不等式等问题在求解时均要分区
9、间讨论。题型三、复合函数（1）转化法例7. 设函数，求的值.变式：，则 ， 。【类型（1）规律方法总结】：复合函数求值时，需要进行变量转化，逐步推进，由里至外，使变量的范围其在已知函数表达式所在区间上，然后进行求值计算。（2）找规律法例8. 设记（表示的个数）,则是( )（）（）（）（）【规律方法总结】：复合函数求值或求表达式时，遇到多层复合形式，我们的基本解题思路是：首先确定式子是存在规律性的；然后验证并得到规律；最后利用规律求值或求表达式。例9. 已知函数求下列式子的值。 【规律方法总结】：求多个函数值之和的时候，必须利用规律解题。观察各个式子的关系，猜想一个恒等关系式，然后证明这个恒等式
10、成立，最后利用恒等式求值。题型四、实际问题例10. 等腰梯形的两底分别为，作直线交于交折线于，设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.【优化训练】1. 给出下列四个命题:函数是定义域值域的对应;是函数;若,则的值也等于5;函数的图象是一条直线.其中,正确的有( ) (A)1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个2. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D.3. 下列的四种说法与是同一个函数;与不可能是同一个函数;与是同一个函数;定义域和值域都相等的函数是同一个函数.其中正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)44. 已知当时,下列四式中与
11、相等的是( ) (A) (B) (C) (D) 5. 已知则( ) (A) (B) (C) (D) 6. 已知,则( ) (A) (B) (C) (D) 7. 函数 ，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D.8. 已知,则 . . 已知则 . .9. 已知函数为常数,且满足有唯一解,求 的解析式和的值.10. 在边长为4的正方形的边上有一动点从点开始沿折线向移动,设点移动的距离为,的面积为.求(1)函数的解析式、定义域、值域;(2)作出函数的图象，并根据图象求的最大值；（3）求的值。专题三 函数的定义域与解析式（培优版）【知识要点】1. 函数定义域:函数的自变量的取值范围称为函数的定义域.2. 求函数定义域的基本思想：解不等式.常用的原则有（1）具体函数的几大原则： 实数存在原则:偶次方根的被开方式大于或等于零. 分母不为零原则:有理式函数的分母不等于零; 真数大于零原则：对数函数应有; 正切有意义原则：正切函数应满足 底数不为零原则：如在函数表达式中出现，则必有(无意义）（2）抽象函数的几大原则： 同时存在的原则:有限个初等函数四则运算合成的函数的定义域是各个初等函数定义域的交集;复合函数的定义域是“内层函数”的定义域与满足“外层函数”的定义域的集合的交集. 一致原则;若已知的定义域是,求的定义域的方法是解
