《抛物线焦点弦的弦长公式 2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线焦点弦的弦长公式 2（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于抛物线焦点弦的弦长公式补充(1)已知：抛物线的方程为2 = 2px (p 0),过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点， 且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。 p兀、解：由题意可设直线AB的方程为y = k(x-%) ( -)将其代入抛物线方程整理得：4 k 2 X2 - (4 pk 2 + 8 p) X + P2 k 2 = 0 ，且 k = tan 设 A,B 两点的坐标为(X， )，( X， )贝 0： x + X = Pk2+ 2 p，XX1122人i 人2 k 212=(sin )2I AB 1= 1 + k2.、;(X1 + X2)c 兀当 =-时，斜率不存在，sin=1, IAB
2、I=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。现在我们来探讨这个问题。(2)已知：抛物线的方程为X2 = 2py(p 0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为，求弦AB的长。解：设A,B的坐标为(工，y),(X ,y )，斜率为k(k = tan0 )，而焦点坐标为(0,p)，11222 p故AB的方程为y - 5 = kX，将其代入抛物线的方程整理得：X2 - 2 pkX - p2 = 0,从而 X + X = 2 pk, XX =-p2,弦长为：1 AB|=X1+X2)2-4X X2 =
3、0 = 0, cos 0 = 1,I AB I= 2p，即为通径。而y2 = -2pX与(1)的结果一样，X2 = -2py与(2)的结果一样，但是(1)与(2) 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：(3)已知：抛物线的方程为y2 = 2pX (p 0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A，B 两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。 p兀、解：由题意可设直线AB的方程为y = k(X -专)( -)将其代入抛物线方程整理得:4 k2 X2 - (4pk2 + 8p)x + p2 k2 = 0冗若倾斜角 a ，则 a =n 9, k
4、 = tan a = tan(兀9)。2设A,B两点的坐标为(x ,y),(x ,y)1122则：x + x = A 2+ 2 p，x x =匚12k 21 2 4x 1 + x 2) 2 4 x. XJ1 + (tan 以)2(p k 2 + 2 p )2 p 2 k 42 p(sin a ) 22p而 sin 9 = sin a ,sin(兀一9) = sin a，故 I AB I= .；(sin9 )2八 兀当。=一时，sin9 = 1, IABI=2p.即为通径。2而y2 = -2px与(3)的结果一样同理：(4)已知：抛物线的方程为x 2 = 2py(p 0)，过焦点的弦AB交抛物线
5、于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为9，求弦AB的长。解：设A,B的坐标为(工,y ),(x ,y )，若倾斜角为a，斜率为k，1122p则k = tana，而焦点坐标为(0-)， p故AB的万程为y 5 = kx，将其代入抛物线的万程整理得:x2 2 pkx p2 = 0,从而 x + x = 2 pk, xx = p2，1212弦长为：| AB 1=板口2k(x1+x2)2-4x1 x2 = (cosa )2兀兀 八兀当倾斜角a ，则a = +9,cosa = cos( +9) = sin9222所以1 AB|=（sin/e）2恒成立。兀.当e=时，sine = 1, IABI=2p.即为通径。2而% 2 =-2py与（4）的结果一样。故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为e，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即I AB 1=2 p(sin e )2。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
