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1、全国备战中考数学二次函数的综合备战中考模拟和真题分类汇总附答案解析一、二次函数1如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的
2、坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PDx轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【详解】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC中，tanABC=2， ， AC=6，A（2，6），把A（2，6）和B（1，0）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（
3、1，0），AB的解析式为：y=2x+2， 设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2），PE=DE， x23x+4（2x+2）=（2x+2），x=-1或1（舍）， P（1，6）；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y）， B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45， 解得：y=3，M（1，3+）或（1，3）；ii）当ABM=90时，有AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2，
4、y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2， y=，M（1，）；综上所述，点M的坐标为：M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用2如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA1，tanBAO3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上
5、的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与COD相似时点P的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得DOCAOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，得到EFCEMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值
6、的对应关系，可得答案【详解】（1）在RtAOB中，OA1，tanBAO3，OB3OA3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OCOB3，ODOA1，A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0），代入解析式为，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）抛物线的解析式为yx22x+3，对称轴为l1，E点坐标为（1，0），如图，分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，CFE=PME=90，CEF=PEM，EFCEMP，MP3ME点P的横坐标为t，P
7、（t，t22t+3）P在第二象限，PMt22t+3，ME1t，t0，t22t+33（1t），解得：t12，t23（与t0矛盾，舍去）当t2时，y（2）22（2）+33，P（2，3）综上所述：当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【点睛】本题是二次函数综合题解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP3ME3童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期的销售量
8、为件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题【详解】解：（1）根据题意得，（60x）10+1003100，解得：x40，604020元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w（x30）（60x）1
9、0+10010x2+1000x2100010（x50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型4如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PABA时，求PAB的面积【答案】（1）抛物线的解析式为y=x24x，自变量x的取值范图是0x4；（2）PAB的面积=15【解
10、析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BEx轴，垂足为点E，过点P作PEx轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明PFAAEB,求出点P的坐标，将PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积【详解】（1）由题意得，解得，抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y0时，自变量x的取值范围是0x4；（2）如图，过点B作BEx轴，垂足为点E，过点P作PEx轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,PABAPAF+BAE=90,PA
11、F+FPA=90,FPA=BAE又PFA=AEB=90PFAAEB,，即，解得，x= 1，x=4（舍去）x2-4x=-5点P的坐标为（-1，-5），又B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为（，0）SPAB=【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键5如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上当PANA，且PA=
12、NA时，求此时点P的坐标；当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标【答案】（1）y=（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）点P（1，2）；P（ ，）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为即可得到抛物线的解析式；（2）首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；，表示出来得到二次函数，求得最值即可试题解析：（1）抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为，解得：，二次函数的解析式为=，顶点坐标为（1，4）；（2）令，解得或，
13、点A（3，0），B（1，0），作PDx轴于点D，点P在上，设点P（x，），PANA，且PA=NA，PADAND，OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，点P（，2）；设P(x，y)，则，=OBOC+ADPD+(PD+OC)OD=，当x=时，=，当x=时，=，此时P（，）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4压轴题6如图，在平面直角坐标系中有抛物线ya（x2）22和ya（xh）2，抛物线ya（x2）22经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线ya（x2）22上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线ya（xh）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线ya（xh）2于点D（不与点D重合），连接PD，设点P的横坐标为m：（1）直接写出a的值；直接写出抛物线ya（x2）22的函数表达式的一般式；（2）当抛物线ya（xh）2经过原点时，设PDD与OAB重叠部分图形周长为L：求的值；直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值【答案】（1）；y2x；（2）1；L；（3）h【解析】【分析】（1）将x0，y0代入ya（x2）22中计算即可；y2x；（2）将（0，0）代入ya（xh）2中，可求得a，yx2，待定系数法求OB、AB的解
