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1、不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列an+1 = (can+d)/(ean+f)【c、d、e、f是不 全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数 列an满足an+1=f(an),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程， 其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通 项，这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为，当n趋于无穷时,如果数 列an存在极限,an和an+1是没有区别的.首先,要注意，并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程，比 如：an+1=an+1/an.其次，不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通
2、项的各种方法看几个具体的例子吧.例 1：巳知 a1=2,an+1=2/(an+1),求通项.【说明：这题是“相异不动点”的例子.】先求不动点Van+1=2/(an+1).令x=2/(x+1),解得不动点为：x=1和x=-2【相异不动点】.(an+1-1)/(an+1+2)【使用不动点】二 (2/(an+1)-1)/(2/(an+1)+2)= (2-an-1)/(2+2an+2)= (-an+1)/(2an+4)二 (-1/2)(an-1)/(an+2).a1=2.(a1-1)/(a1+2)=1/4.(an-1)/(an+2) 是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列.(anT)/(an+2)=
3、1/4(T/2)(nT)解得：an=3/1-(-1/2)(n+1)-2例 2：已知数列an满足 a1=3,anan-1=2an-1-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒 数的方法.】V an=2-1/an-1二采用不动点法，令：x=2-1/x即：x2-2x+1=0.x二1【重合不动点】Van=2T/an-1:.an-1=2-1/an-1-1【使用不动点】anT=(an-1T)/an-1两边取倒数，得：1/(an-1)=an-1/(an-1-1)即：1/(an-1)-1/(an-1-1)=1Va1=3.1/(an-1)是首项为1/(a1-1)二1/2,公差为
4、1的等差数列即：1/(an-1)=1/2+(n-1) = (2n-1)/2.,.an=2/(2nT)+1=(2n+1)/(2nT)例 3：已知数列an满足 a1=1/2,Sn=ann2-n(n-1),求通 项.【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数，现在看个不 动点方程系数包含n的例子.】V Sn=ann2-n(n-1).Sn+1=an+1(n+1)2-(n+1)n将上面两式相减，得：an+1=an+1(n+1)2-ann2-(n+1)n+n(n-1)(n2+2n)an+1=ann2+2n(n+2)an+1=nan+2an+1=ann/(n+2)+2/(n+2)【1】采用不动点法，
5、令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1【重合不动点】设：an-1=bn,则：an=bn+1【使用不动点】代入【1】式，得：bn+1+1=(bn+1)n/(n+2)+2/(n+2)bn+1=bnn/(n+2)即：bn+1/bn=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分，多写几行看得清楚点】bn/bn-1 = (n-1)/(n+1)【这里保留分母】bn-1/bn-2 = (n-2)/n【这里保留分母】bn-2/bn-3 = (n-3)/(n-1)bn-3/bn-4 = (n-4)/(n-2).b5/b4=4/6b4/b3=3/5b3/b2=2/4【这里保留分子】b 2/b1=1/3【这
6、里保留分子】将上述各项左右各自累乘，得：bn/b1 = (1*2)/n(n+1).a1=1/2b1=a1-1=-1/2.bn=T/n(n+1)通项 an=bn+1=1-1/n(n+1)例 4：已知数列an满足 a1=2,an+1 = (2an+1)/3，求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法】.an+1 = (2an+1)/3求不动点：x=(2x+1)/3，得：x=1【重合不动点】.an+1-1=(2an+1)/3-1【使用不动点】即：an+1-1=(2/3)(an-1).an-1是首项为a1-1=1,公比为2/3的等比数列即：an-1=(2/3)(n-1).
7、,.an=1+(2/3)(nT)【又】.an+1 = (2an+1)/3.3an+1=2an+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法，即可得到：3an+1-3=2an-2.,.an+1T=(2/3)(anT)【下面同上】例 5：已知数列xn满足 x1=2,xn+1 = (xn2+2)/(2xn)，求 通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子，其中还要采用对数的方法.】xn+1 = (xn2+2)/(2xn)采用不动点法，设：y=(y2+2)/(2y)y2=2解得不动点是：y=V2【相异不动点为无理数】A (xn+1-V2)/(xn+1+V2)【使用不动点】= (xn2+2)/2xn- /
8、2/(xn2+2)/2xn+ 2= (xn2-2 2xn+2)/(xn2+2 2xn+2)= (xn- 2)/(xn+ 2)2.xn+1 = (xn2+2)/2x)n=xn/2+1/xn N2/2=2.,.ln(xn+1- 2)/(x)n+1+ 2)=2ln(xn- 2)/(xn+ 2)【取 对数】.x)1=22.(x)1- 2)/(x)1+ 2)=3-2 2A ln(x)n- 2)/(x)n+ 2)是首项为 ln(3-2 2),公比为 2 的等比 数列即：ln(x)n-2)/(x)n+2)=2(n-1)ln(3-2 2)(x)n- 2)/(x)n+ 2) = (3-2 2)2(n-1)x)n
9、- 2=(3-2 2)2(n-1)(x)n+ 2)x)n-x)n(3-2 2)2(n-1)= 2(3-2 2)2(n-1)+ 2Ax)n= 21+(3-2 2)2(n-1)/1-(3-2 2)2(n-1)例 6：已知数列a)n满足 a)1=2,a)n+1 = (1+a)n)/(1-a)n),求通 项.【说明：现在举个不动点是虚数的例子，说明有些题目可以采用不动点 法,但采用其他解法可能更方便.】求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x2=-1,得：x1=i，x2=-i【相异不动点为虚数，i为虚数单位】.(an+1-i)/(an+1+i)【使用不动点】= (1+an)/(1-an-i/(1+
10、an)/(1-an+i= (1+an-i+ani)/(1+an+i-ani)= (1+i)/(1-i)(an-i)/(an+i)=i(an-i)/(an+i).a1=2.(an-i)/(an+i)是首项为(a1-i)/(a1+i) = (2-i)/(2+i)，公 比为i的等比数列即： (an-i)/(an+i) = (2-i)/(2+i)i(n-1)(an-i)(2+i) = (an+i)(2-i)i”(n-1)2an-2i+ian+1=(2an+2i-ian+1)i”(n-1)2+i-(2-i)(i)(n-1)an=2i-1+(2i+1)i(n-1)an = 2i-1+(2i+1)i(n-1
11、)/2+i-(2-i)i(n-1).an = 2iT+(2-i)in/2+i-(2-i)i(nT)【下面用“三角代换”，看看是否更巧妙一些.】,.，an+1 = (1+an)/(1-an)令 an=tan 0，则 an+1 = tan( n /4)+tan 0 /1-tan( n/4)tan0 =tan( n /4+ 0 ) 0 =arctan(an)，n/4+0 =arctan(an+1).上面两式相减，得：arctan(an+1)-arctan(an)= n/4.a1=2.arctan(an)是首项为 arctan(a1)=arctan2,公差为 n /4 的等差 数列即：arctan(an)=arctan2+(n-1) n/4/. an=tan(n-1) n/4+arctan2
