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1、8.2 双曲线知识梳理定义1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（1）的点的轨迹方程1. =1，c=，焦点是F1（c，0），F2（c，0）2.=1，c=，焦点是F1（0，c）、F2（0，c）性质H：=1（a0，b0）1.范围：|x|a，yR2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0）4.渐近线：y=x，y=x5.离心率：e=（1，+）6.准线：l1：x=，l2：x=7.焦半径：P（x，y）H，P在右支上，r1=|PF1|=ex+a，r2=|PF2|=exa；P在左
2、支上，r1=|PF1|=（ex+a），r2=|PF2|=（exa）思考讨论 对于焦点在y轴上的双曲线=1（a0，b0），其性质如何？焦半径公式如何推导？点击双基1.（2004年春季北京）双曲线=1的渐近线方程是A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.渐近线方程为y=x=x.答案：A2.过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析：可设所求双曲线方程为y2=，把（2，2）点坐标代入方程得=2.答案：A3.如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是A.10 B.
3、 C.2 D. 解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8=.答案：D4.已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_.解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，）.易求它到中心的距离为.答案：5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_.解析：利用双曲线的定义.答案：=1（x0）典例剖析【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）
4、.剖析：设双曲线方程为=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为=1，由题意，得 =，=1， 解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为=1.（2）设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：（1）设所求双曲线方程为（0），将点（3，2）代入得，所以双曲线方程为.（2）设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及
5、准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0，可设双曲线方程为a2x2b2y2=（0）.【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.剖析：由|PM|PN|=2m，得|PM|PN|=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=2x（x0）. 因此，点P（x，y）、M（1，0）、N（1，0）三点不共线，得|PM|PN|0，0|m|0，15m20.
6、解得0|m|，即m的取值范围为（，0）（0，）.评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 如下图，在双曲线=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A与C.由双曲线的对
7、称性，易知A与C也在双曲线上，且A、B、C满足题设条件，所以AC的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.（1）解：c=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. 分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有2|BB2|=|AA2|+|CC2|，此即26=y1+y3，可见
8、y1+y3=12.（2）证明：AC的中垂线方程为y=（x），即y6=x+. 由于A、C均在双曲线上，所以有=1，=1.相减得=.于是有=（y1+y3）=12=13，故变为y=x+，易知此直线过定点D（0，）.评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.闯关训练夯实基础1.（2004年天津，4）设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.9解析：由渐近线方程y=x，且a=2，b=3.据定义
9、有|PF2|PF1|=4，|PF2|=7.答案：C2.（2005年春季北京，5）“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：由ab0，b0或a0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.答案：C3.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不
10、正确，将正确结果填在下面横线上._.解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|PF1|=2a，|PF2|=17.答案：|PF2|=174.过点A（0，2）可以作_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点.解析：数形结合，两切线、两交线.答案：45.已知双曲线的方程是16x29y2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.解：（1）由16x29y2=144得=1，a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=x.（2）|PF1|PF2
11、|=6，cosF1PF2= = =0.F1PF2=90.6.已知双曲线x2=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y2=k（x1），代入双曲线方程得（2k2）x2+（2k24k）x（k44k+6）=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，由已知=xp=1，=2.解得k=1.又k=1时，=160，从而直线AB方程为xy+1=0.（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，0，所以这样的直线不存在.培养能力7.双曲线kx2y
12、21，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.解：由题意k0，c=，渐近线方程l为y=x，准线方程为x=，于是A（，），直线FA的方程为 y=，于是B（，）.由B是AC中点，则xC=2xBxA，yC=2yByA.将xC、yC代入方程kx2y21，得k2c410kc2250.解得k（1+）5，则k4.所以双曲线方程为4x2y218.（理）已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线 y2x21各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若A1B1A2B2，求l1、l2的方程.解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为yk1（x）.联立得 yk1（x），y2x21，消去y得（k121）x22k12x2k1210. 根据题意得k1210， 10，即有12k1240. 完全类似地有10， 20，即有1240， 从而k1（，）（，）且k11.（2）由弦长公式得A1B1. 完全类似地有A2B2. A1B1A2B2，k1，k2.从而l1：y（x），l2：y（x）或l1：y（x），l2：y（x）（文）在双曲线1上求一点M，使它到
