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1、-知识框架掌握了数列的根本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式1观察法。2由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qand，q为常数例1、 an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解an+1-an=2为常数 an是首项为1，公差为2的等差数列an=1+2n-1 即an=2n-1例2、满足，而，求=？2递推式为an+1=an+fn例3、中
2、，求.解：由可知令n=1，2，n-1，代入得n-1个等式累加，即a2-a1+a3-a2+an-an-1 说明只要和f1+f2+fn-1是可求的，就可以由an+1=an+fn以n=1，2，n-1代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+qp，q为常数例4、中，对于n1nN有，求.解法一： 由递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3an-an-1因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=31+2-1=4an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1即 an=23n-1-1解法二：
3、上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432，an-an-1=43n-2，把n-1个等式累加得： an=23n-1-1(4)递推式为an+1=pan+qnp，q为常数 由上题的解法，得： (5)递推式为思路：设,可以变形为：，想于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求。(6)递推式为Sn与an的关系式关系；2试用n表示an。上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+n-12=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为
4、特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列如果等差，等比，则叫做差比数列即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和其中等差可裂项为：，等差数列前项和的最值问题：1、假设等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。假设通项，则最大；假设，则当取最靠近的非零自然数时最大；2、假设等差数列的首项，公差，则前项和有最小值假设通项，则最小；假设，则当取最靠近的非零自然数时最小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。即求，用作差法：。求，用作商法：。条件中既有还有，
5、有时先求，再求；有时也可直接求。假设求用累加法：。求，用累乘法：。递推关系求，用构造法构造等差、等比数列。特别地，1形如、为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。2形如的递推数列都可以用倒数法求通项。3形如的递推数列都可以用对数法求通项。7理科数学归纳法。8当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将和式中同类项先合并在一起，再运用公式法求和。 3倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或
6、数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和这也是等差数列前和公式的推导方法.4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，则常选用错位相减法这也是等比数列前和公式的推导方法.5裂项相消法：如果数列的通项可分裂成两项差的形式，且相邻项分裂后相关联，则常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：；，； ；二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、3、求差商法解：练习4、叠乘法解：5、等差型递推公式练习6、等比型递推公式练习7、倒数法2数列求和问题的方法1、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记
7、住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n2【例8】求数列1，3+5，7+9+10，13+15+17+19，前n项的和。解此题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=个奇数，最后一个奇数为：1+n(n+1)-12=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为2、分解转化法对通项进展分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1n2-1+ 2n2-22+3n2-32+nn2-n2解 S=n21+2+3+n-13+23+33+n33、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解
8、Sn=3n2n-14、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例11、求数列1，3*，5*2,(2n-1)*n-1前n项的和解设Sn=1+3+5*2+(2n-1)*n-1(2)*=0时，Sn=1(3)当*0且*1时，在式两边同乘以*得 *Sn=*+3*2+5*3+(2n-1)*n，-，得 (1-*)Sn=1+2*+2*2+2*3+2*n-1-(2n-1)*n(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例12、求和注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下
9、的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a10，前n项的和为Sn，假设Sl=Sklk问n为何值时Sn最大？此函数以n为自变量的二次函数。a10 Sl=Sklk，d0故此二次函数的图像开口向下 fl=fk2方程思想【例14】设等比数列an前n项和为Sn，假设S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析此题考察等比数列的根底知识及推理能力。解依题意可知q1。如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。q1整理得 q32q6-q3-1=0 q0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=1+q3S3。S9=S3+q3S6=S31+q3+q6，由S3+S6=2S9可得2+q3=21+q3+q6，2q6+q3=03换元思想【例15】 a，b，c是不为1的正数，*，y，zR+，且求证：a，b，c顺次成等比数列。 证明依题意令a*=by=cz=k*=1ogak，y=logbk，z=logckb2=aca，b，c成等比数列a，b，c均不为0. z
