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1、专题一 第5讲导数及其应用一、选择题(每小题4分，共24分)1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)AeB1C1De解析f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)1，f(1)1.故选B.答案B2(2012泉州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为A3 B2C1 D.解析设切点为(x0，y0)yx，x0，解得x03(x02舍去)答案A3(2012聊城模拟)求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的是AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy解析两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)，
2、故积分上限是1，下限是0，由于在 0,1上，xx2，故求曲线yx2与yx所围成图形的面S(xx2)dx.答案B4函数f(x)在2,2上的最大值为2，则a的取值范围是A. B.C(，0 D.解析当x0时，f(x)6x26x，函数的极大值点是x1，极小值点是x0，当x1时，f(x)2，故只要在(0,2上eax2即可，即axln 2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故aln 2.答案D5设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22ax
3、bxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x1时，ax22axbxbcca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1、x2，则x1x21，D中图象一定不满足该条件答案D6设aR，若函数f(x)eax3x(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围是A(3,2) B(3，)C(，3) D(3,4)解析由已知得f(x)3aeax，若函数f(x)在xR上有大于零的极值点，则f(x)3aeax0有正根当3aeax0成立时，显然有a0，此时xln，由x0得到参数a的取值范围为a3.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7(2012济南三模)曲线yexx2在点(0,1)处
4、的切线方程为_解析yex2x，所求切线的斜率为e0201，切线方程为y11(x0)，即xy10.答案xy108(2012枣庄市高三一模)dx_.解析dx表示圆x2y24中阴影部分的面积的大小，易知AOB，OC1，dxSOBCS扇形AOB122.答案9(2012泉州模拟)若函数f(x)xaln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是_解析f(x)xaln x在(0，)上是增函数，f(x)10在(0，)上恒成立，即a2.而224，当且仅当，即x1时等号成立，a4.答案(，4三、解答题(每小题12分，共36分)10(2012泉州模拟)已知函数f(x)x3ax2bxa2(a，bR)(1
5、)若函数f(x)在x1处有极值为10，求b的值；(2)若对任意a4，)，f(x)在x0,2上单调递增，求b的最小值解析(1)f(x)3x22axb，则或.当时，f(x)3x28x11，641320，所以函数有极值点；当时，f(x)3(x1)20，所以函数无极值点则b的值为11.(2)解法一f(x)3x22axb0对任意的a4，)，x0,2都成立，则F(a)2xa3x2b0对任意的a4，)，x0,2都成立x0，F(a)在a4，)单调递增或为常数函数，所以得F(a)minF(4)8x3x2b0对任意的x0,2恒成立，即b(3x28x)max，又3x28x32，当x时，(3x28x)max，得b，所
6、以b的最小值为.解法二f(x)3x22axb0对任意的a4，)，x0,2都成立，即b3x22ax对任意的a4，)，x0,2都成立，即b(3x22ax)max，令F(x)3x22ax32.当a0时，F(x)max0，b0；当4a0时，F(x)max，b.又max，b.综上，b的最小值为.11已知函数f(x)exln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设x0，求证：f(x1)e2x1；(3)设nN，求证：ln(121)ln(231)lnn(n1)12n3.解析(1)由题知，函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)exln x(ln x1)令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x.故f
7、(x)的增区间为，减区间为.(2)证明要证f(x1)e2x1，即证(x1)ln(x1)2x1ln(x1)ln(x1)0.令g(x)ln(x1)，则g(x)，令g(x)0，得x2，且g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)ming(2)ln 31，故当x0时，有g(x)g(2)ln 310，即f(x1)e2x1得证(3)证明由(2)得ln(x1)，即ln(x1)2，所以lnk(k1)122，所以ln(121)ln(231)lnn(n1)12n32n3.12设函数f(x)axa，x(0,1，aR*(1)若f(x)在(0,1上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在(0,1上的最大值解析(1)当x(0,1时，f(x)a1.要使f(x)在x(0,1上是增函数，需使f(x)10在(0,1上恒成立即a 在(0,1上恒成立而 在(0,1上的最小值为，又aR*，0a为所求 (2)由(1)知：当0a时，f(x)在(0,1上是增函数f(x)maxf(1)(1)a1；当a时，令f(x)0，得x (0,10x时，f(x)0； x1时，f(x)0.f(x)maxfa.综上，当0a时，f(x)max(1)a1；当a时，f(x)maxa.
