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1、第九章 振动 思考题9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量的变化规律满足，、均为常数，能否说作简谐振动？答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：若物体相对平衡位置的位移（角位移）满足动力学方程 ，且由振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；若物体相对平衡位置的位移（角位移）满足运动学方程 ，且由振动系统本身性质决定，、由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以和分别表示时物体的初始位移和初始速度，则式中 ；可由、和三式中的任意两个来决定。上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，、是求解
2、时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。如某物理量的变化规律满足，、均为常数，不能说作简谐振动。因为常数必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且、是由系统初始条件决定的常数时，才可以说作简谐振动。9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为，为什么它的摆动不是简谐振动？答：对质量为m 的摆球，当摆角很大时，其切向力，不是角位移的线性回复力。由牛顿定律得：即 令，有 因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数
3、的弹簧。答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间内的振动次数N，确定振动频率，从而确定；又，则可间接测量出物体的质量：（质量在太空中不变）。9.4 将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？答：设弹簧原长，质量m不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长，则F。 由胡克定律 ，对比可得其劲度系数。当弹簧剪掉一半时，即。设原弹簧振子频率为，剪后为，则所以，频率增大为原来的倍。9.5 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：由可知，当有乘客时，。所以，当有乘客时，其固有频率会减小。9.6 一弹簧振子（如图9.1）可不考虑弹
4、簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？答：（1）用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m；（2）测出弹簧原长，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度，计算出弹簧伸长量。在平衡位置，即可确定劲度系数；（3）计算出固有频率。9.7 两互相垂直的简谐振动的运动学方程为 ，。若质点同时参与上述二振动，且 ，质点将沿什么样的轨道怎样运动？答：合振动的轨道方程为：。轨道为以和为轴的椭圆。由于，故方向的振动比方向的振动超前，质点沿椭圆顺时针方向运动。9.8 “受迫振动达到稳态时，其
5、运动学方程可写作，其中和由初条件决定，即策动力的频率。”这句话对不对？答：不对。和并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。9.9 “策动力与固有频率相等，则发生共振。”这句话是否准确？答：不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为，即位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。而速度共振的条件是，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。习题9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小
6、摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：设刚体静止时，沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置，使与竖直方向夹一小角，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。以表示的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以表示重力矩，则 （因很小，）重力矩与角位移成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。由转动定律得：令，则 所以，刚体简谐振动的固有频率。9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：设物m处于平衡位置时，弹簧伸
7、长；弹簧伸长，则。取平衡位置为坐标原点O，建立OX坐标系。当物m受扰动向X轴正向位移时，物m受力：所以， F由牛顿定律 F得 令 ，则弹簧的振动微分方程可表示为：所以，固有频率 。9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1，若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是 k1的多少倍？解：弹簧振子的频率： 若使串弹簧振子的频率：故串后的等效劲度系数为时，可满足要求。取振子m静止时（平衡位置）为坐标原点O，建立OX坐标系。在平衡位置时，弹簧伸长；弹簧伸长，且 。当振子m位移时，弹簧伸长（+）；弹簧伸长（+）。设 。 （1）则振
8、子m受的弹力可表示为 。 （2）因此，振子m所受合力： （3）联立（1）（2）（3）得取，则，解得 。9.2.4 单摆周期的研究。（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内。（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内。（3）单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期。摆长为。解：（1）以非惯性系车厢为参照系，建立自然坐标系。以摆球为研究对象，摆球受重力、张力、惯性力。在平衡位置O处： +=0水平方向：竖直方向：由此得摆球在平衡位置时摆线与竖直方向夹角满足 。当摆球偏离平衡位置的角位移为时，由牛顿定律得（切向）由于很小，取，上式整理为又，在切向的牛顿定律可表示为：
9、令 ， 则单摆的振动微分方程可表示为：。所以，周期 。（2）以加速度a上升的电梯为参照系，摆球受重力、张力、向下的惯性力。在平衡位置O处，摆线在竖直方向，有+=0。当摆球偏离平衡位置的角位移为时，由牛顿定律得（切向）由于很小，取，上式整理为：令 ，所以，周期。（3）同理可求出加速度a（ag）下降的电梯内单摆的振动周期为。9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为。设想各原子间彼此以弹簧连接。、一摩尔银的质量为108g且包含个原子。现仅考虑一例原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。解：设一列原子中的某个原子质量为m，且，其平衡位置为O，建
10、立OX坐标系，考察该列原子水平方向的振动。当该原子偏离平衡位置位移为x时，在x方向受力： 由牛顿定律得 即， 振动频率由题意，而所以9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为20g，现将弹簧自平衡位置拉长cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s，求该振子的运动学方程（SI）。解：（该题有误：设振子质量为m=200g=0.2，才能与答案相符。）振幅 初相 所以，振动方程为 9.2.7 质量为1.0103g的物体悬挂在劲度系数为1.0106dyn/cm的弹簧下面。（1）求其振动的周期。（2）在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/
11、s求运动学方程。解：（1）（2）时=+0.5=+5103m； =+15/s=+0.15m/s设振动方程为 时，式中 由振幅公式 初相 所以 。9.2.8 (1)一简谐振动的运动规律为，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为，若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。解：（1）若计时起点提前0.5s，则提前后的时间和的关系为，即，代入方程得，其初相位为。设计时起点提前可使其初相位为0，则，即再令，得 ，即计时起点提前秒。
12、（2）用余弦函数表示简谐振动：若计时起点推迟1s，则推迟后的时间，代入方程得或其初相位为或设计时起点提前可使其初相位为0，则，即或再令 ，得 ，提前秒；或令 ，得 ，推迟秒。3），若计时起点提前0.5s，则，；，若计时起点推迟1s，则，。9.2.9 画出某种简谐振动的位移时间曲线，其运动规律为（SI制）。解：，借助参考圆画出该简谐振动的位移时间曲线：9.2.10 半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。（1）求其振动的周期。（2）求与其振动周期相等的单摆的长度。（3）将圆环去掉而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。解：（1）视薄圆环为刚体，质量为m，静止
13、时重心C与刀口O连线位于竖直位置，振动系统处于平衡位置。若与竖直方向成一小角，则重力矩使其回到平衡位置，由于惯性，薄圆环作微小摆动。则重力矩 由平行轴定理，薄圆环对过O点垂直于环面的轴的转动惯量为由转动定理 整理得 所以，振动频率，周期（2）单摆的振动周期，为摆长。由题意，得。即单摆的摆长为时，其振动周期与圆环振动周期相等。（3）视圆环质量为由则根据复摆周期：9.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等。固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。（1）求当h=50cm和h=100cm时的比
14、值。（2）是否存在某一h值，可令T=T0，若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。解：（1）将小物体视为质点m，当其固定在米尺上距轴h处时，系统对轴的转动惯量为I0，则 I0=周期 当，h=0.5m=时，而米尺单独振动时，h=0，周期所以，（2）当h=1m时， 所以，（3）当时，即由此解得，。h=0表示小物体固定在支点上，所以对米尺的振动周期无影响；由可知，为米尺的等效摆长，即可把米尺的质量视为集中于处的一点。因此，小物体固定在该点时，同样不影响摆得周期。9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小球。最初小球静止，后另有一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。解：运动过程分为两个阶段：小球m与悬球M完全非弹性碰撞、二者一起作单摆运动。以地面为参照系，以悬球静止时的位置（平衡位置）为坐标原点，建立OX坐标系。两球完全非弹
