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1、圆锥曲线的综合应用【题型与方法】（利用练习小结知识点、注意点、解题方法）一、圆锥曲线的性质【例1】（1）双曲线的渐近线为，则离心率为 .或（2）已知双曲线(a0,b0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为23、 椭圆1(ab0)的左、右焦点
2、分别是F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两动点，且0.(1) 判定原点O与以MN为直径的圆的位置关系；(2) 设椭圆离心率为，MN的最小值是2，求椭圆方程解：(1) 设椭圆1的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0)，F2(c, 0)设M，N，则，. 0， y1y20，即2y1y2c2.于是2y1y2c20，故MON为锐角所以原点O在以MN为直径的圆的外部(2) 因为椭圆的离心率为，所以a2c，于是M(4c，y1)，N(4c，y2)，且y1y2c2215c2.MN2(y1y2)2yy2y1y2|y1|2|y2|22|y1y2|4|y1y2|60c2.当且仅当y1y2c或y2y
3、1c时取“”号，所以(MN)min2c2，于是c1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是1.4、在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题
4、 解：(1)双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)设直线PQ的方程是yxb，因直线PQ与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|
5、2，设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2.所以3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值5、已知椭圆, 点A是椭圆与轴的交点, F为椭圆的右焦点, 直线与椭圆交于B,C两点.（1）若点M满足,求直线的方程;（2）若,在上,且,求动点的轨迹方程.分析: 题(1)是个定状态的问题: 由可知,点M是定点,且由是线段BC的中点, 由此可求得直线BC即直线的方程.解(1) 由椭圆可知A(0,4), F(2,0). , (2,0)-(0,4)=2()-(2,0), 即M(3,-2). , 点M是线段BC的中点, 直线BC即直线的斜率为. (可以有四中方法:,点差法,
6、设法,设而不求法求得). 直线的方程为,即.分析: 题(2)是一个动状态的问题:点D随AB的变化而变化,从而点D的坐标是刻画直线AB的变化的量的参数(斜率)的函数, 可设BC的方程为(k存在), 从而点M是直线AM(直线AD用参数k刻画)与直线BC的交点,在由是直角得参数k与b的关于式,消参数k与b即得点D的方程.解法(一) 设直线AB的斜率为,则直线AC的斜率为.直线AB的斜率为方程为,由方程组可得, , ， 同理得, . ， 直线BC的方程为, +，. 直线AD的方程为, ,由与移项相乘消去可得, 即 .说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法-交轨法.解法(二): 设直线的方程为, 则直线
7、AD的方程为.(显然由方程和方程消去和即可得点D的轨迹方程, 这里我们必须给出和的关系式,将这一几何条件转化为代数形式即可得和的关系式)由方程组可得,设, 则. , , , , , +化简得,.解得,(舍去)或. 方程即为, 由方程和方程消去得, , 即 .6、如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设，又知，则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入得 6分（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值12分
