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1、多面体外接球、内切球半径的求法与球有关的问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。注：1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和
2、外接球的球心重合。正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。练习：设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于（ ）A B C D（等体积法：，所以）二：1、球的表面积公式 ，球的体积公式 。2、球的截面性质：截面圆的半径r与球心到截面的距离d和球的半径R的关系是 。例1.(1)用与球心距离为2的平面
3、去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ）A B C D（2）在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和求球的表面积（3） 球面上有三点、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积（4）已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_ (5)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ）A B C D（6）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B CD来源:Z（7）如图，有一个水
4、平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3 (8)已知正三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A B C D 三：平面图形外接圆半径的求法a、直角三角形的外接圆半径 b、等边三角形的外接圆半径 c、三角形外接圆半径的公式（正弦定理） d、矩形的外接圆半径 e、是不是任何平面四边形都有外接圆（内对角互补的平面四边形有外接圆）f、若平面四边形有外接圆，则求其中三点构成的三
5、角形的外接圆即可（正弦定理）g、三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则正弦定理：余弦定理： 练习： 平面四边形ABCD中，AB=1，AD=3，BAD=60,ABBC,ADCD,则四边形ABCD外接圆的半径r= .四：几个结论1、空间四边形OABC中，若0A=0B=0C,在O在平面ABC内的射影是ABC的 心。2、若0A=0B，则点O的集合是线段AB的中垂面。3.正方体的内切球：正方体的六个面都与球都相切，正方体中心与球心重合；正方体的棱长为，球半径为，则.4.正方体的外接球：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.5.正方体的
6、棱切球：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. 6.长方体外接球的半径R= . 五：直棱柱外接球的求法:设直棱柱的高（侧棱长）为h,底面多边形有外接圆，且半径为r，则R= 例2（1）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.（2） 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A. B. C. D.（3）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. （4）已知三棱柱的6个顶点都在
7、球O的球面上，若，,则球O的半径为（ ）A B C D (5).已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. B. C. D.(6)底面边长为的正三棱柱外接球的体积为，则该三棱柱的体积为 。 （7）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .（8）直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=1，AC=2，BAC=60, AA1=2，则该三棱柱的外接球半径R= 。（9）直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=1，AD=3，BAD=60,ABBC,ADCD,AA1=2，
8、则该四棱柱的外接球半径R= 。六：三棱锥外接球半径的求法 （一） 一条侧棱与底面垂直的三棱锥的外接球的求法（补形为直三棱柱或直四棱柱即可）例3.（1）三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A B C D(2)点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A B C D(3)三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D（4）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， 底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（ ）A、 B C D（5）A,B,C,D是同一球面上的四个点，其中是正三角形, 平面，,则
9、该球的表面积为( ) A. B. C. D.（6）已知四面体中，平面，则四面体的外接球体积为（ ）A B C D来源:学科网（7）已知四面体中, ，,平面PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比（ ） A. B.C.D. (8)三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，又，则球的表面积为( ) A B C3 D12(10)已知矩形，分别是、的中点，且，现沿将平面折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C D (11)在四面体S-ABC中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A B C D (12)在四面体S-ABC中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 （ ） A B C D
10、 (13) 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .(14)四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，则该球的体积为 _ (15) 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，都在同一球面上，则此球的体积为 . （二）.正四面体PABC的外接球的求法1.（方法1：通过补形为正方体，计算正方体的外接球即可。方法2：利用直角三角形AOO1 中，OO1 = PO1-R,OA=R,AO1 =r,勾股定理计算出R。方法三：利用直角三角形PAP射影定理计算）2.正四面体的内切球：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；设正四面体的棱长为，高为；球的
11、半径为，这时有；3.正四面体的外接球：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；4.正四面体的棱切球：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有5.设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比例4.（1） 已知正三棱锥PABC的主视图和俯视图如图1所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A4 B12C. D. （2）某四面体的三视图如图2所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A. B
12、. C. D.（三）.正棱锥PABC的外接球的求法（方法1：利用直角三角形AOO1 中，OO1 = PO1-R,OA=R,AO1 =r,勾股定理计算出R。方法2：利用直角三角形PAP射影定理计算，方法3：借助于平面四边形计算AMO1O计算OAJ即可）例5. （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.(2)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A12 B36 C72 D108(3)正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（ ）A. B. C. D.(4)点在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ） A B C D （四）其他棱锥外接球例6(1)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ） A B C D(2)半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥ABCD的体积为（ ） A B C D
