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1、江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。1若集合，且，则实数的值为 。2若复数满足（为虚数单位），则 。3现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。4已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。5若，是两个单位向量，且，则，的夹角为 。6如图，该程序运行后输出的结果为 。7函数，的单调递增区间为 。8若等比数列满足且（且），则的值为 。9过点且与直线：和：都
2、相切的所有圆的半径之和为 。10设函数满足对任意的，且。已知当时，有，则的值为 。11椭圆（）的左焦点为F，直线与椭圆相交于A，B两点，若的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率为 。12定义运算，则关于非零实数的不等式的解集为 。13若点G为的重心，且AGBG，则的最大值为 。14若实数、满足，则的最小值为 。二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。15（本小题满分14分）已知函数。求的最小正周期；求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。 16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA=PB=PD=AB=
3、BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点。求证：PA平面BDE；求证：平面PBC平面PDC。17（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；问中转点D距离A处多远时，S最小？18（
4、本小题满分16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。求椭圆T与圆O的方程；过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；若，求与的方程。19（本小题满分16分）设函数（，）。若，求在上的最大值和最小值；若对任意，都有，求的取值范围；若在上的最大值为，求的值。20（本小题满分16分）设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。若是的充分条件，求的值；对于中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；若为真命题，对于给定的正整数（
5、）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。21（选修41：几何证明选讲）如图，AB是O的直径，C、E为O上的点，且CA平分BAE，DC是O的切线，交AE的延长线于点D。求证：CDAE。22（选修42：矩阵与变换）求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 ， 。23（选修44：坐标系与参数方程）已知圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线截圆C所得的弦长。24（选修45：不等式选讲）若，证明25（本小题满分10分）正三棱柱的所有棱长都为4，D为的中点。（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值。26（本小题满分10分）已知数列满
6、足，。（1）证明：（）；（2）证明：。盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 16 7. 8.16 9. 42 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（）2分4分所以7分（）因为，所以9分所以，所以，当即时，当即时，14分16.证明(1)连接交于,连接四边形是菱形, 是中点, 2分 又为中点.4分又,平面7分(2)在中,易得,9分在中可求得,同理在中可求得在中可得,即1
7、1分又,为中点, 12分面,又面平面平面14分17解: (1)由题在中，由正弦定理知，得3分7分(2)，令，得10分当时，；当时，当时取得最小值12分此时，中转站距处千米时，运输成本最小14分18解: (1)由题意知: 解得可知:椭圆的方程为与圆的方程4分(2)设因为,则因为所以,7分因为 所以当时取得最大值为，此时点9分(3)设的方程为,由解得；由解得11分把中的置换成可得，12分所以，由得解得15分所以的方程为，的方程为或的方程为，的方程为16分19解(1) 2分在内, ，在在内, 为增函数，在内为减函数函数的最大值为，最小值为4分 （2）对任意有，从而有6分又在内为减函数，在内为增函数,
8、只需，则的取值范围是10分（3）由知，加得又14分将代入得16分20解：（1）设的公差为，则原等式可化为所以，即对于恒成立，所以4分（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若对于任意的恒成立，则为等差数列”. 当时，显然成立.6分当时，由-得，即.当时，即、成等差数列，当时，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件. 10分(3)由，可设，所以.设的公差为，则，所以，所以，所以的最大值为16分ABCDDEO附加题答案21.【证明】连结OC，所以OAC=OCA， 又因为CA平分BAE，所以OAC=EAC，于是EAC=OCA，所以OC/AD. 又因为DC是O的切线，所以CDOC，CDAE 10分22.
9、解：MN=，4分设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，则有，于是，.8分代入得，所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为10分23.圆的方程为 ；直线的方程为 .故所求弦长为.10分24.证明：由柯西不等式可得7分又，所以.10分25.解：取BC中点O，连AO，为正三角形，在正三棱柱中，平面ABC平面,平面，取中点为,以O为原点，,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.,.，,面5分（2）设平面的法向量为,。，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，为平面的法向量，二面角的余弦值为10分26.（1）因为所以假设当时，因为，所以，由数学归纳法知，当时.5分（2）由（1）知，得，所以所以即所以，以此类推，得，问题得证. 10分第6页
