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1、 4.直纹面和可展曲面 1. 证明曲面=是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为=+v，令=，=，则=+ v，且0，这是直纹面的方程 ，它满足=0 ,所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）2。证明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。证法一： 曲面的方程可改写为 =+ u，其中=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v，=-sinv, cosv,1 ，易见0，所以曲面为直纹面，又因为=0，所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）3证明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是
2、可展曲面。证法一：原曲面的方程可改写为 =+ v，其中=0,0,au+b,=cosu,sinu,0.易见0, 所以曲面为直纹面, 又因为=a0.故正螺面不是可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）4证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。证 挠曲线（C）:的主法线曲面为 ,因为=，故不是可展曲面。挠曲线（C）:的副法线曲面为 ，因为，故不是可展曲面。5。求平面族：xcos+ysin-zsin-1=0 的包络。解 ，即 ，将此两式平方后相加得 。这就是所求的包络面。6求平面族的包络。解 从中消去参数a，则得所求的包络面为。7证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。证 柱面的
3、方程可写为 =+ v，（0 为常向量）因为=。故是可展曲面。锥面的方程可写为 =+ v（为常向量），因为=0，故是可展曲面。曲线（C）:的切线曲面为 。因为=，故是可展曲面。8证明的曲面是柱面。证法： 因为，所以，又因为，因此为固定向量。从而积分得 。故曲面是柱面。 5 曲面的基本定理1平面上取极坐标系时，第一基本形式为，试计算第二类克氏符号。解 因为，所以，。2证明高斯曲率。证 因为，而，所以，从而，故。3证明平均曲率。证 因为=-=，所以。5对于中的空间曲面来说，其中K是曲面的高斯曲率。证 因为所以，又或j=k),从而上式两边分别与相乘并关于m从1到2求和，则得=,而故得。 注 在解题过程
4、中省略了求和号。6证明以下公式： ； ； ；对于曲面上的等温坐标网有，求证； 对于曲面上的半测地坐标网有，求证 。证 高斯公式的两边分别与相乘并关于m从1到2求和,再注意到及的定义，可得,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有=故 。 因为，所以，又因为，所以=- 而 =，即 于是将，代入可得：。 因此命题得证。 因为，所以，又因为，所以 而 即 于是将，代入并整理得： 因为E=G=,F=0,所以因此命题得证。 因为E=1， F=0, G=G（u，v），所以因此命题得证。7如果曲面的第一基本形式为，计算克氏符号。解 因为 ，所以， 。 8求证第一基本形式为的曲面有常高斯曲率 。 证 因为
5、，所以=-=4c故所给曲面有常高斯曲率 。9求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、 第二类基本量的曲面。解 由已知条件和的定义易知=0，所以所求曲面的基本方程是 ，从第一式和第四式可得，所以，再由第二式得，因此是常向量，于是从第三式得为常向量），从而所求的方程为，而， 所以，因此又，所以再注意到，于是可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为， 因此所求曲面是半径为1的圆柱面。10证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的GCM公式，但，所以不满足高斯公式
6、，故不存在满足题设条件的曲面。6 曲面上的测底线 1求正交网的坐标曲线的测地曲率。解 因为坐标网是正交的，所以F=0，故，而对u-曲线来说，=0，故，对v-曲线来说，= ，所以。2证明球面=acosucosv,acosusinv,asinu上曲线的测地曲率 其中表示曲线与经线的交角。证 易求出E=, F=0,G=,因此=，而，故 。3求位于半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率.解法一：因为，而，所以。解法二：半径为的圆的曲率为 ，圆上每一点处的法曲率，由知， ，所以 。解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为的纬圆的测地曲率。由1题知所求即为v-线的测
7、地曲率：=因为所考虑纬圆的半径为 ，所以所以 。4求位于正螺面=ucosv,usin,av上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率。解 易计算出E=1，F=0，G=，而（C）是一条v-曲线：u=,于是由，可知（C）的测地曲率为。5设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点。证明(C)在点P的测地曲率的绝对值等于在(S)的球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P的法曲率之积的绝对值。分析 本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之。证 设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为=，它的球面像的方程为，注意到曲率线的定义及罗德里格定理，则有，其
8、中是的弧长，即，所以 ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K0,所以，（为(S)的球面像（）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得，即 ，即 。6若曲面(S)上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率的计算公式。解 由于 ，而 ，所以，所以， 又， = ， 从而，由此得到：。 7求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 。 证 设旋转曲面为(S)，则易计算出E= ,于是子午线（t曲线）的测地曲率为，故子午线是测地线。又平行圆（-曲线）的测地曲率为 。所以的充要条件是 ，即故平行圆仅当子午线的切线平行于
9、旋转轴时才是测地线 。 8求证 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线。证 因为所给曲线是测地线，所以； 又因为所给曲线是渐近线，所以，而 ，所以k=0，故所给曲线是直线。 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有，而，所以从而，又，所以，故所给曲线是平面曲线。方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有，所以，又因曲线是曲率线，所以 ，所以 ，所以，故所给曲线是平面曲线。方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面。从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是
10、可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线。方法四：设是测地线，所以的主法向量（曲面的单位法向量），所以的副法向量 ；即曲线在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因是曲率线，所以由P114习题14知，曲线是平面曲线。9已知曲面的第一基本形式，证明它上面的测地线是uv平面上的抛物线。证 因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为 ，于是 ，积分后得（常数），由此得 。将此式代入第二式得 ，积分后得常数），即 。故测地线在uv平面上的表示为抛物线。10求正螺面=ucosv,usin,av上的测地线。解 易计算出E=1，F=0，G=，所以测地线的微分方程化为，对第一式积分得（常数）。于是，将此
11、式代入第二式并积分，则得所求测地线为 。 11利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线；圆柱面上的测地线为圆柱螺线。 证 方法一：由于曲面的第一基本形式可写为，所以由利乌维公式可知，平面上的测地线的微分方程为，于是有=常数，故测地线为直线。方法二：取平面直角坐标系xoy， 平面方程为，可得，所以 。由刘维尔公式，对平面上的测地线有： = 0所以测地线的（相对曲率） = 0 ，所以测地线是直线。方法三： 如方法二得，所以是常数，所以 即测地线方程是 ，所以测地线是直线。 证法一：设圆柱面为，则易计算。所以测地线的微分方程为 = 0 ， ，所以=常数，即圆柱面上的测地线为。其中，这正是圆柱面上的圆
12、柱螺线。因此得证。证法二：设圆柱面为，则易计算。所以测地线的微分方程为所以 ， 。所以测地线为： （C1 ,C2为常数）。因为与z周成定角，所以测地线为圆柱螺线：时为是纬圆；时为是直母线。12证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线。证法一： 因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有，从而，又因为曲线是平面曲线，所以，从而。因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线。证法二：设曲面上非直线的曲线为测地线且为平面曲线。因为为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因为平面曲线，所以的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿的法线组成曲面是可展曲面，所以为曲
13、率线。13如果曲面上引进半测地坐标网，。求证： 。 证明 因为E=1，F=0，G=，所以根据Liouville公式有，而，从而，故得 。 14给出曲面的第一基本形式为 ，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角时，求证 。 证 因为E=1，F=0，G=，所以与u-曲线交于角的测地线应满足微分方程组 于是有 ，故有 。 15证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面。 证法一： 取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为，由于两族测地线交于定角（设为），所以对另一族测地线来说应有 ，所以 ，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本
14、形式可写为，作参数变换 ，则曲面的第一基本形式化为 ，这与平面的第一基本形式一致。因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面。证法二：同上得到曲面的第一基本形式为，所以曲面的高斯曲率 ，所以曲面为可展曲面。证法三：同17题利用高斯-泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面。16求半径为R的球面上测地三角形三内角之和。解 任给半径为R的球面上的一个测地三角形，设其边缘为，所围成的区域为G，则有高斯-泼涅公式可知 ，其中（i=1,2,3）是的三个内角，而曲面的高斯曲率K= ，所以 ，故得 ，其中是测地三角形的面积。17利用高斯-泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零。 证 不妨选取题设中的两族交于定角（设为）的测地线为坐标曲线。
