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1、“曲线上一点处的切线”教学设计江苏省江阴市第一中学 唐永2018年11月20日至22日，江苏省第14届中学数学教学高级论坛在江苏省通州高级中学举行.笔者有幸参加了这次高级论坛并开设了一节研讨课，上课的课题是苏教版选修2-2“曲线上一点处的切线”.教学目标：（1）经历“局部以直代曲” 的过程，理解割线逼近切线的方法和曲线上一点处的切线的概念；了解曲线上一点处的切线的意义，掌握求曲线在一点处切线的斜率的方法.（2）让学生分组讨论，培养合作交流的能力；联系生活，培养发现问题解决问题的能力；让学生学会思考、体会科学探究的方法；培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力.（3）了解切线概念发展的历史过程，
2、体会数学核心概念的发展与数学发展的相关性，通过切线概念的对比培养学生科学求实的精神，培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质.教学重点：曲线上一点处的切线概念的形成过程，掌握曲线在一点处的切线斜率及切线方程的求法.教学难点：理解曲线在一点处的切线定义，特别是对“局部以直代曲”、“无限逼近”思想的理解.教学方法：活动探究教学法、合作交流学习法教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一、回顾旧知，提出问题师：请同学们回忆什么叫做平均变化率？生：函数在区间上的平均变化率为。师：平均变化率近似的刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，体现了“以直代曲”思想.请同学们观察上图中这些函数在区间0,1上的平均变
3、化率是怎样的？生：它们在区间0,1上的平均变化率都是1.师：的确平均变化率都是一样的，但这几个函数在区间0,1上图象存在明显差异，有的上凸，有的下凸，所以再用平均变化率刻画就比较 “粗糙”，有时会产生错误判断，因为它只与区间端点有关，需要研究曲线在某一点处的变化趋势.那么“如何精确刻画曲线上某一点处的变化趋势”就是本节课所要研究的中心问题.问题1：如何精确刻画曲线上某一点P处的变化趋势？二、活动探究、建构概念带着问题，请同学们先看一组照片：第一组照片是探月卫星从月球传回的地球照片；第二组是杨利伟在“神州5号”上拍摄的美丽地球；第三组是江苏省通州高级中学操场.师：从遥远的月球拍到的地球照片，地球
4、是球体曲面，再近一点，从神州5号拍到的地球表面弯曲程度变小了，再近一点，再近一点，再到我们脚下平整的操场，我们不禁要问“我们生活在曲面上还是平面上”？生：我们即生活在曲面上又生活在平面上，因为曲绝对，直相对；生：宏观上曲，微观上直；生：我们之所以感觉生活在平面上，实际上是对地球表面不断放大产生的效果.师：同学们说的都非常好，富有哲理性，受此启发可以用“放大图形”来研究曲线上某一点处的变化趋势.师：观察“点附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？放大放大 放大放大生：曲线在点P附近几乎成了一条直线.师： “几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？又为什么说是“几乎”？生：曲线
5、在点P附近逼近一条确定的直线，直线是经过点P的所有直线中，最逼近曲线的一条直线.师：在点P附近用直线代替曲线，即很小范围内“以直代曲”，直线的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势.这样，通过“放大图形”、“局部以直代曲”解决了问题1.问题2：怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢？如图，直线为经过曲线上一点P的两条直线（1）判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线？（2）在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？（3）在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？这是什么数学思想方法？生：直线比更加逼近曲线，设Q是与曲线C的另一个交点，随着点Q沿曲线C向点P运动时，就会产生更加逼近曲线
6、的直线、师：非常好！直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动时，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当Q无限逼近点P时，PQ最终成为在点P处最逼近曲线的直线，这条直线也就称为曲线在点处的切线，所以我们可以用P点处的切线的斜率来刻画曲线在点P处的变化趋势.2.如何作出曲线在点P处的切线？ 割线逼近切线观察下面的图象，设Q为曲线C上除P点外的另一点，这时PQ称为曲线的割线.练习：利用直尺，用割线逼近切线的方法作出曲线在原点处的切线。三、追溯历史，深化概念如何由过点P的割线来求点P处的切线的斜率呢？割线斜率逼近切线斜率不妨设Q(x1，f(x1)，P(x0，f(x0)，则割线PQ的斜率为，设
7、x1x0=x，则x1 =xx0，当点Q沿着曲线向点P无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点P处切线斜率，即当x无限趋近于0时，无限趋近点P处切线斜率.（割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”思想的数量化）求曲线C上一点处的切线斜率的步骤：（1）求平均变化率；（2）当趋近于0（）时，所趋近的值，即为P点处的切线的斜率.四、例题示范，应用概念例1. 已知，求曲线在处的切线的斜率.变式1：已知曲线的一条切线的斜率为-4，求切点的坐标。解 设切点， 则.当无限趋近于0时，无限趋近于2，从而,所以切点.变式2 求曲线在处的切线斜率. 解 设切点， 则.当无限趋近于0时，无限趋近于常数，曲线在处的切线斜率为
8、.五、课堂练习，巩固概念 1.求曲线在处的切线方程.解 设切点， 则.当无限趋近于0时，无限趋近于常数0，从而曲线在处的切线的斜率为0，所以切线方程为：六、回顾总结，升华概念1.知识方面；2.思想方法方面。教学设计说明这堂课设计上依托教材强调几何直观、弱化概念的表达方式，为学生后面对导数概念的本质理解打好基础。其中“局部以直代曲”的思想则是微积分的核心所在，教学中参照教材从“放大图形”的朴素方法到“无限逼近”的极限观点逐层深入的揭示这一辩证思想，并利用EXCEL感受数值逼近，从数值角度体会“逼近”帮助理解。由于学生已经学过一些切线，但先前的定义不完善，所以教学过程中还穿插数学史，和以前学过的切线比较，使学生认识到数学历史发展的过程中，数学概念是不断继承、发展和完善的，加深对概念的理解和巩固。微积分知识体系的形成还不到400年，学生终究不是怪杰费尔马，学生主体地位的体现主要是抓住要让学生能够有自己的观察、体会、思维活动、操作活动和数学训练。整堂课围绕中心问题“如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势”展开，引导学生提出一步一步的小问题或设置一些小问题，最终形成很有哲学深度的“逼近”思想，从而理解概念，掌握切线斜率求法，解决中心问题。
