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1、初中九年级数学比赛培优讲义全套专题15从全等到相似专题15从全等到相似阅读与思虑相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比率等问题经过搜寻（或构造）相似三角形获取比率线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一全等三角形是相似三角形相似比等于1的特别情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅是认识形式上的变化，并且在思想方法上也是一个飞驰，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比率式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差证明这种问题，常常要经过命题的变换或中间量的过渡熟习下边这些“A”
2、型、“X”型，子母型等相似三角形例题与求解【例1】如图，ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对（武汉市比赛试题）解题思路：从搜寻最基本的相似三角形下手，注意相似三角形的传达性SARDEBCQP【例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3若是边AB上的点P使得以P，A，D为极点的三角形和以P，B，C为极点的三角形相似，那么这样的点P有（）A1个B2个C3个D4个解题思路：经过代数化，将P点的个数的议论转变为方程解的个数的议论要使两个三角形相似，并无详尽的对应关系，因此结论拥有不确立性，
3、应注意分类议论ADPBC【例3】如图，在ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF（吉林省中考试题）解题思路：因为BP，PE，PF在一条直线上，因此必定经过等线段的代换促使问题的转变证明比率式或等积式是几何问题中的常有题型，解决它的常用方法是：找相似：三点定形法；作平行：依照要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；变原式：包含等量代换、等积代换和等比代换AEFPBDC【例】已知ABC中，BCAC，CH是AB边上的高，且满足AC2AH试一试讨A与B4BC2BH的关系，并加以证明（
4、武汉市比赛试题）解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出A与B的关系解题的重点是综合运用勾股定理、比率线段的性质，推导判断两个三角形相似的条件CABD如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特色是：一线段是两个三角形的公共边；另两条线段在同向来线上构造抗命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个抗命题你能提出新的问题吗？并加以证明【例5】如图1，P为ABC内一点，连接PA，PB，PC在PAB，PBC和PAC中，若是存在一个三角形与ABC相似，那
5、么就称P为ABC的自相似点（1）如图2，已知RtABC中，ACB=90，ABCA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点；（2）在ABC中，ABC如图3，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图印迹）；若ABC的内心（A，B，C角均分线的交点）P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数（南京市中考试题）解题思路：本例设问形式多样，从看法的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相似点”的看法，是解题的重点AAADPEBCBCBC图1图2图3【例6】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm点P沿AB边从点A开始向B以2cm
6、/s的速度搬动，点Q沿DA边从点D示搬动时间（0t6），那么：开始向点A以1cm/s的速度搬动若是P，Q同时出发，用t（秒）表（ 1）当t为什么值时，QAP为等腰三角形？（ 2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果相关的结论；（ 3）当t为什么值时，以点Q，A，P为极点的三角形与ABC相似？（河北省中考试题）解题思路：对于（3），借助三角形相似的判断方法，因为未指明对应关系，研究质点运动的时间应注意分类议论DCQABP能力训练A级1如图，已知12，BD，ABDE5，BC4，那么AD=AAAD12MEFECBDBCBC（第1题）（第2题）（第3题）2如图，在ABC中，AB9，AC6，点M在
7、AB上且AM3，点N在AC上若是连接MN，使得AMN与原三角形相似，则AN=3如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1BC，CD4BC，E，F为两腰上33的中点下边的四个结论：CE2BE；ADEEDC；CEF；AEDFSADESAB其DC中结论正确的有（填序号即可）（宜昌市中考试题）4在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且AEBFDGAH0)阅读下段资料，今后回答后边问题BEFCGCk(kHD如图，连接BD，AEAH，BFDG，EHBD，FGBD，FGEHBEHDFCGC（1）连接AC，则EF与GH可否必定平行，答：AHDEG（2）当k值为时，
8、四边形EFGH为平行四边形BCF（3）在（2）的情况下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH为矩形；（4）在（2）的情况下，对角线AC与BD只须满足条件时，EFGH为矩形（黄冈市中考试题）5如图，在ABC中，ADBC于点D，以下条件：BDAC90；BDAC；CDAC；AB2BDBC，此中必定能判断ABC是直角三角形的共有（）ADABA3个B2个C1个D0个（山西省中考试题）ABAADBFEACBDCBECBFCP（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）6如图，ABCD中，E是BC上一点，BE:EC2:3，AE交BD于点F，则BF:FD等于（）A2:5B3:5C2:3D5:7（重庆市中考试题
9、）7将三角形纸片（ABC）按以以下图的方式折叠，使点B落在边AC上，即为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为极点的三角形与ABC相似，那么BF的长度为（）A21212D不确立BC2或77（山东省中考试题）8如图，在ABC中，AB8，BC7，CA6，延长BC至P，使得PABPCA，则PC等于（）A7B8C9D10（重庆市比赛试题）9已知：正方形的边长为1（1）如图1，可以算出一个正方形的对角线长2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长；图1（ 2）依照图2，求证：BCEBED；（ 3）由图3，在以下所给的三个结论中，经过合情推理选出一个正确的结论加以证明：BECBDE45；BECBED45；BECDFE45ABCDABCDEEF图2图3（三明市中考试题）10如图，在ABC中，
