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1、空间向量与立体几何高考冲刺总复习（文科）【考点梳理】考点一、空间几何体的表面积和体积1、旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S=2r(r+)圆锥S=r(r+)圆台球2、几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S，S，高为h，则体积V=（+S）h;（4）设球半径为R，则球的体积V=。要点诠释：1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱
2、、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图考点二：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0规定：0与任意向量平行单位向量：长度为1的空间向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量相反向量：方向相反但模相等的向量共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相
3、平行或重合平行于记作，此时=0或=p共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作与同向（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作考点三：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，则； 的中点坐标为空间向量运算的的坐标运算设，则 ； ； ； ； ，； 空间向量平行和垂直的条件若，则，；要点诠
4、释：（1）空间任一点的坐标的确定： 过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则如图：（）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是（）与任意空间向量平行或垂直考点四：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（/）/（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（/），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）线面垂直（）/（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（/）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）要点诠释：（）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直
5、线的方向向量 （）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量 一个平面的法向量不是唯一的考点五：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（，是直线上不同的两点，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。考点六：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离（为平面的法向量）与平面平
6、行的直线到平面的距离（是平面的公共法向量）两平行平面间的距离（是平面，的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法【典型例题】类型一、空间几何体的三视图例1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 。【答案】【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱
7、长为1的正三棱柱。其表面积为【变式1】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（）AB C D【答案】B【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，PCD的高为20，故这个几何体的体积为。【变式2】（2016-广西高考-10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）90（D）81【变式3】（2017广西高考-9）. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )A. B
8、. C. D. 【变式4】（2017广西高考10）.在正方体中，为棱的中点，则（）A. B. C. D.例2 (2015河南高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若几何体的表面积为则r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8【思路点拨】三视图直观图（圆柱与球的组合体）圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解。【答案】B【解析】有几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体时一个半球拼接半个圆柱其表面积为：解得r=2,故选B.举一反三：【变式1】(2015 福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体
9、的表面积等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面是梯形上底1，下底2，高为1所以侧面为 底面为故几何体的表面积为.故选B.【变式2】（2014广西高考-10）.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A B C D【变式3】（2016-广西高考-11）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）（B）（C）（D）类型二：空间向量的直角坐标运算例3. 设(1，5，-1)，(-2，3，5) (1)当()(
10、)时，求的值；(2)当(-3)(+)时，求的值【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算【解析】(1) (1，5，-1)，(-2，3，5)， (1，5，-1)-3(-2，3，5)(1，5，-1)-(-6，9，15)(7，-4，-16)(1，5，-1)+(-2，3，5)(，)+(-2，3，5)(，) ()， ，解得(2)由()()(7，-4，-16)(，)0，解得举一反三：【变式1】（2015秋 齐齐哈尔校级期中）已知，则向量与夹角的余弦值为_.【答案】【变式2】空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC60，则等于( )A B C D0【答案】D 设，则，所以所以OA
11、BC所以【变式3】与向量平行的单位向量的坐标为（ ）A. (1,1,0) B. (0,1,0) C. (1,1,1) D. 或【答案】D类型三、平行与垂直关系例4（2015 江苏高考）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1CBC1=E求证：（1）DE平面AA1C1C；（2）BC1AB1【思路点拨】（1）根据中位线定理得DEAC，即证DE平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1平面ABC，即证ACCC1；再证明AC平面BCC1B1，即证BC1AC；最后证明BC1平面B1AC，即可证出BC1AB1【证明】（1）根据题意，得；E为B1C的中点
12、，D为AB1的中点，所以DEAC；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，因为AC平面ABC，所以ACCC1；又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1；又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1平面B1AC；又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1【总结升华】在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找
13、“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直举一反三：【变式1】（2015 重庆一模）如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形（1）求证：DM平面APC；（2）求证：平面ABC平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积【证明】（I）由已知得，MD是ABP的中位线MDAPMD面APC，AP面APCMD面APC；（II）PMB为正三角形，D为PB的中点MDPB，APPB又APPC，PBPC=PAP面PBC（6分）BC面PBCAPBC又BCAC，ACAP=ABC面APC，BC面ABC平面ABC平面APC；（III）由题意可知，三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形MD面PBC，BC=4，AB=20，MB
