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1、第16讲 数字趣谈教学目标l 尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题知识梳理 在日常生活中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地掌握它。典例分析 考点一：枚举计数例1、在10和40之间有多少个数是3的倍数？【解析】由尝试法可求出答案：34=12 35=15 36=18 37=21 38=2439=27 310=30 311=33 312=36 313=39例2、 在10和1000
2、之间有多少个数是3的倍数？【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：103=31 说明10以内有3个数是3的倍数；10003=3331 说明1000以内有333个数是3的倍数。3333=330 说明101000之间有330个数是3的倍数。例3、从19九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【解析】将19的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=29。依次做下去，可得11=38，11=47，11=
3、56。共有4种不同的写法。例4、2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？【解析】2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：234=24，2429；235=30，3029，不合题意。所以，这三批学生的人数是2，3，4人。例5、一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排这本书的页码共要用多少个铅字？【解析】这道题可以分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用19=9个；从第10页到第99页，共90页，每页
4、用2个铅字，共用290=180个；第100页，只有1页共用3个铅字。所以这本书的页码共用91803=192个铅字。 例6、一本书共250页，求编码时需要多少个数码？【解析】由于本书的页码有一位数、 两位数、 三位数； 而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。 一位数：有9个，共需91=9个数码； 两位数：有90个，共需902=180个数码； 三位数：有250-99=151个，共需1513=453个数码； 共需9+180+453=642个数码。 记住规律：一位数： 19，有9个；两位数： 1099，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数： 100999，有999-100+1=9
5、00个，或999-99=900个；四位数： 9000个；例7、 给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？【解析】刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算： 一位数：有9个，共计用去9个数码； 两位数：有90个，共需902=180个数码； 三位数：有900个，共需9003=2700个数码； 而此题只有 723个数码，多于9+180，小于 9+180+2700，说明数的页数是三位数。 一位数和两位数共计用去9+180=189个数码， 还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码， 则还有5343=178个三位数， 第178个三位数是99+178=277，故本书
6、有277页。例8、 一本书的页码， 在印刷时必须用198个铅字， 自这一本书的页码中数字1出现多少次？【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码， 还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码， 则还有93=3个三位数， 第3个三位数是102，故本书有 102页。 那么本题转化为：一本书有102页，问1出现多少次？ 即相当于问： 1102里1出现的次数。 数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。 因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。 本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的： 最多有3位数， 因此，1如果出现一定是在个位、十位
7、、或百位。 所以我们把个、十、百位的1分类计数，然后再相加。 个位1： 1,11,21,31， 101。有11个；十位1： 10， 11,12， 19。有10个；百位1： 100,101,102。有3个。1出现24次。考点二：计数和数论的综合题例1、 13998这些自然数中，有多少个能被4整除？【解析】最简单的方法是找规律，除以几，数就有几种可能，如除以4，余数可能 03，共四种；连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数1 2 3 4 5 6 7 8 9 除以4余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1 周期为4,39984=9992，余下的2个为1和2，因此能被4整除的共
8、999个。注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；除以4余1的和除以4余2的都有 999+1=1000个。例2、 12343998这些自然数中，有多少个能被4整除？【解析】 12343998共有3998-1234+1=2765个数。1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 除以4余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2 周期为4,27654=6911，余下的一个是2，因此能被4整除的有691个。注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；除以4余2的都有691+1=692个。考点三：计数问题中的乘法原理 加法
9、分类，类类独立；乘法分步，步步相关。乘法原理： 一般的， 完成一个任务有N步， 第一步有A种做法， 第二步有 B种做法，第三步有C种做法，那么完成这个任务共有ABC种方法。例1、 从北京到天津有3种路线， 从天津到大连有4种路线， 那么从北京经过天津再去大连共有几种路线。【解析】完成任务分两步，第一步从北京到天津，第二步从天津到大连， 分步用乘法原理， 34=12例2、 17中选4个不同数字，组成四位数，共有多少个？【解析】组成四位数，需要一位一位的确定各个位上的数字，分四步。 第一步： 17中选一个数字放到千位，共7种； 第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到百位，共6种； 第三步：从剩下
10、的5个数字中选一个数字放到十位，共5种； 第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到个位，共4种； 分步用乘法： 7654=840种。 特殊元素优先排列，特殊位置优先考虑。例3、 17中选4个不同数字，组成四位奇数，共有多少个？【解析】特殊位置优先考虑 奇数，末位特殊， 1,3,5,7共4中选择。第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位，共6种；第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位，共5种；第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位，共4种； 分步用乘法： 4654=480种。考点四：数论中位值原理的应用位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。如： 123
11、4=1000+200+30+4=11000+2100+310+411在千这个位置上，它代表的数值是1个1000；2在百这个位置上，它代表的数值是2个100；3在十这个位置上，它代表的数值是3个10；4在个这个位置上，它代表的数值是4个1；位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。位值原理的两种展开方式：（ 1）全部展开：如： 1234=11000+2100+310+41（ 2）分析题意，根据需要灵活展开：如：1234=12100+341；12345=121000+3451；12345=123100+451；12345=121000+3410+51；例1、 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，
12、那么，所得的三位数是原数的6倍。求这个两位数。【解析】 设原来的两位数是ab，那么新的三位数就是ab 0 ，新数是原数的6倍，得到方程： ab 0 =6ab（ a,b均为整数； 0a9； 0b9）根据位值原理： ab=10a+b； ab 0 =100a+b；则100a+b=6（ 10a+b） 100a+b=60a+6b 40a=5b 8a=b（ 0a9； 0b9） a=1,b=8原数为18。例2、 有一个三位数， 个位数字是百位的2倍， 百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198， 求原数。【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大19
13、8。设原数为abc，则新数为cba，原数+198=新数abc+198=cba100a+10b+c+198=100c+10b+a198=99c-99ac-a=2又，个位数字是百位的2倍，即c=2a，差倍问题， c=4,a=2又，百位数字与个位数字之和等于十位数字， b=a+c=6原数为264例3、 一个三位数，个位数字是 3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字当成十位数字，那么新数比原数小171，求原数。【解析】 设原数为ab3，则新数为3ab，（ a,b均为整数； 0a9； 0b9）新数比原数小171，即：3ab+171=ab3（ 新数+171=原数）可以按刚才思路展
14、开，但仔细分析后就会发现ab始终作为一个整体出现，可以用第二种展开方式： 3ab=300+ab， ab3=10ab+3，3ab+171=ab3300+ab+171=10ab+3，设ab=X，300+X+171=10X+3X=523原数为523。实战演练 课堂狙击1、在20和50之间有多少个数是6的倍数？【解析】要想求出从20到50之间6的倍数的个数，根据找一个数倍数的方法，列举出6的倍数，然后找出在 20-50范围内的即可6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、，所以在20到50之间6的倍数的个数：24、30、36、42、48，共五个；答：在20和50之间有5个数是6的倍数。 2、在1到1000之间有多少个数是4的倍数？【解析】在1到1000之间有多少个数是4的倍数，也就是说1000里面有
