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1、切线长定理、弦切角、和圆相关的比(20210924041156)初三中考冲刺之几何证明、解答题技巧切线长定理、弦切角、和圆相关的比率线段定理的掌握。1. 切线长观点切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，拥有数目的特点，而“切线”是一条直线，它不能够胸怀长度。2. 切线长定理关于切线长定理，应明确（ 1）若已知圆的两条切线订交，则切线长相等；（ 2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（ 3）经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可获得一个等腰三角形；（ 4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补
2、；（ 5）圆外一点与圆心的连线，均分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3. 弦切角、极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角。直线 AB切O于 P，PC、 PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆相关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 碰到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆相关的比率线段 / 定理图形已知结论订交弦O中，AB CDPA PB PC PD、为 定理弦，交于 P订交弦O AB为直PCPA PB定理的中，2径，CDAB P推论于切割线O中，PT切OPTPA PB定理
3、2于 T，割线 PB交O于 A切割线PB PDO的两PA PB PC PD定理推、为 条割线，交 O于论A、 C圆幂定O中，割线 PB交 PCPD r 2理 O于 A， CD为弦 OP2PAPBOP2 r 2r 为 O的半径证法连接 AC、BD，证： APC DPB用订交弦定理连接 TA、TB，证： PTB PAT过 P作 PT切 O于T，用两次切割线定理延伸 PO 交 O于M，延伸 OP交 O于N，用订交弦定理证；过 P 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过必定点P 向 O 作任向来线，交 O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数 |（ R 为圆半径），由于叫做点关于 O
4、的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例 1.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。图 1解：由切线长定理知： AFAB 1，EFCE设 CE 为 x，在 Rt ADE 中，由勾股定理，例 2.O 中的两条弦 AB 与 CD 订交于 E，若 AE 6cm， BE 2cm，CD7cm，那么 CE_cm。图 2解：由订交弦定理，得AEBECEDE AE 6cm，BE2cm， CD7cm，即 CE 3cm 或 CE 4cm。故应填 3或 4。点拨：订交弦定理是较重要定理，结果
5、要注意两种状况的弃取。例 3.已知 PA 是圆的切线， PCB 是圆的割线，则解： P P PAC B， PAC PBA ，_。，。又 PA 是圆的切线， PCB 是圆的割线，由切割线定理，得即，故应填PC。点拨：利用相像得出比率关系式后要注意变形，推出所需结论。例 4.如图 3，P 是 O 外一点， PC 切 O 于点 C， PAB 是 O 的割线，交 O 于A、 B 两点，假如 PA： PB1：4，PC12cm， O 的半径为 10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是 _cm。图 3解： PC 是 O 的切线， PAB 是 O 的割线，且 PA： PB 1： 4 PB4PA又 PC12cm
6、由切割线定理，得， PB4624（ cm） AB 24618（cm）设圆心 O 到 AB 距离为 d cm，由勾股定理，得故应填。例 5.如图 4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE的延伸线交 BC 于点 D，（ 1）求证： ；（ 2）若 AB BC2 厘米，求 CE、 CD 的长。图 4点悟：要证，即要证 CED CBE。证明：（ 1）连接 BE（ 2）。又 ，厘米。点拨：有切线，并需找寻角的关系经常添协助线，为利用弦切角定理创建条件。例 6.如图 5，AB 为O 的直径，弦 CDAB ，AE 切O 于 A，交 CD 的延伸线于E。图 5求证：证明：
7、连接 BD ， AE 切O 于 A， EAD ABD AEAB ，又 AB CD， AECD AB 为O 的直径 ADB 90 EADB 90 ADE BAD CDAB AD BC，例 7.如图 6，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证： AD BCCDAB图 6点悟：由结论 AD BC CDAB 得，明显要证 PAD PBA 和 PCD PBC证明： PA 切O 于 A， PAD PBA又APDBPA， PAD PBA同理可证 PCD PBC PA、PC分别切 O 于 A、C PA PC AD BCDCAB例 8.如图 7，在直角三角形 ABC 中， A 90 ，以 AB 边为
8、直径作 O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作 O 的切线交 AC 于 E。图 7求证： BC2OE。点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OA OB，只须证 AE CE。证明：连接 OD。 ACAB ，AB 为直径 AC 为O 的切线，又 DE 切O 于 D EAED，ODDE OB OD， B ODB在 RtABC 中， C 90 B ODE90 C EDC ED EC AE EC OE 是 ABC 的中位线 BC 2OE例 9.如图 8，在正方形 ABCD 中， AB 1，是以点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的随意一点（点 E 与
9、点 A 、D 不重合），过 E 作所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点。当 DEF 45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；图 8解：由 DEF45，得， DFE DEF DE DF又 ADDC AE FC由于 AB 是圆 B 的半径， AD AB ，所以 AD 切圆 B 于点 A；同理， CD 切圆 B 于点 C。又由于 EF 切圆 B 于点 G，所以 AE EG， FC FG。所以 EGFG，即点 G 为线段 EF 的中点。【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）一、选择题1.已知： PA、PB 切 O 于点 A 、B，连接 AB ，若 AB 8，弦 AB 的弦心距 3，则PA（ ）A. B.2.以下图形必定有内切圆的是（）A. 平行四边形 B.矩形C.菱形 D.梯形3.已知：如图 1 直线 MN 与 O 相切于 C， AB 为直径， CAB 40
