《最小二乘法综述及举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最小二乘法综述及举例（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟 踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科 学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都 没有结果。时年24岁的髙斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希奥尔伯斯 根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。髙斯使用的最小二乘法的方法发表于1809 年他的著作天体运动论中。经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算 机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。
2、二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据%yi（i = 1,2,.,n）,是找出一条 最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最 小。设物理量y与1个变量X x2 x间的依赖关系式为：y = /（厲x2吗.a0 % an）。l其中a0,an是n +l个待定参数，记s =瓦。_y）其中vi是测量值，vi是由己求得 的a0,a, .,an以及 实验点 任订,xi2,.,xa；v）i = 1,2,.,m）得出的 函数值y = f (XilXi2.Xil； a0ai”.an)。在设计实验时， 为了减小误差， 常进行多点测量， 使方程式个数大于
3、待定参数的个数， 此时构成的方程组称为矛盾方程组。通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组（此时 方程式的个数与待定参数的个数相等）。我们可以通过正规方程组求出a最小二乘法又称曲线拟合， 所谓“ 拟合”即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点， 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。三曲线拟合曲线拟合的几何解释： 求一条曲线， 使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。 （1）一元线性拟合即设变量y与X成线性关系y二a 0 + ay x,先已知m个实验点匕 = 1,2,.,m）,求两个未 知参数a 0, a1。a0 a应满足丁 = 0, i = 0,1。0, 1 da-ds比0dsda1=-2y
4、 (y, 一 a o 一 咛)=0i=1= _2y (y, 一a o 一 ai 和=0i=1化简得a 0+m y xi=m y yii=1i=1a0ymxi+a1ym xiyii=1i=1从中解出mxyi 一 yxi yy.a,=11 = m_ii=1x. 2，=1i=l、x.i/a 0=m a 一m yxi=1i =1（2）多元线性拟合x x x设变量y与n个变量1, 2，n（n N1）的在联系是线性的,y = ao + yn a1 xj设Xj的第i次测量值为，对应的函数值为y. = （i = 12,.即有下式m） ，则偏差平方和s = y (y. - y. y = y (y. _ a 0
5、_ a1 x)i =1i =1为使s去得最小值的方程组= ym yjii =1xxij ikj=1 i=1丿ma0 +j=1i=1x. a.ij丿y y y厶x”a0 +厶厶ik 0J i=1k =1，2，.，n 。(4)j=yxikyi=1（3）多项式拟合科学实验后得到一组数据时，常会遇到因变量y与自变量x之间根本不存在线性关系。 此可以考虑用一个n次多项式来拟合y与x之间的函数关系。对于n次多项式y = 丫 aX，令xj = xi0,1,.,n），则可将其化为线性形式：i=0y = a0 + ? j式有j=1对于i=l2.M实验点有xj = xj，代入工匕ij丿工伍：二Ey.ii =1）x
6、.x.;i. ik丿从而得出多项式的最小二乘法拟合的方程 工Ex.+k i=1 li=i 丿ma0 +j =1 i=1迟 xika 0 +I i=1j=1、i=1k = 1,2,., na.=迟 x.ky.jik ii =1=迟 xky. k = 0,1,., nmEm xiii=1E x 2.ii=1厶xni i=1a A(Ey. AiiEx.iEm x2E x 3.E xn+10a1E xXi=1ii=1ii=1ii=1.i=1ExniE xn+1iE xn+2.iE x 2 nil an丿E xny.i=1i=1i=1i=1ii i=1i =1从中可以解出a au,丄,.,写成矩阵的形式
7、即为an。（4）指数函数拟合此时拟合函数具有形式y = aebx （a, b为待定系数）。两端取自然对数有In y = In a + bx (*)令 Y = In y b = In a则（*）式化为线性形式Y = b0 + bx 再利用（1）式和（2）式，即可求出b0,b。从而有 a = ebo。故 y = ebObx。四最小二乘法应用举例例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：R = R +a -1。实验测得7组数据（见表1）如下:t0试用最小二乘法求出参量R0 a以及确定它们的误差。表1t/ C19.125.130.136.040.045.150.1R1/76.3077.8079.7580.80
8、82.3583.9085.10此例中只有两个待定的参量R和为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n、工x、 工y、工 x2、工y2和工x y六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列 iiii i表计算的方式来进行，这对提髙计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理 与不易出错。其中表双线右边的计算是为了确定R0和d的误差项用的。表2it / C(x.)iR /t(y.)itxt(X2.)iR x Rtt(y2,)itXRt(x. yi )iiR / /i2X10-4i119.176.30364.85821.71457.376.26+0.0416225.177.80630.06
9、052.81952.877.99-0.19361330.179.75906.06360.12400.579.43+0.321024436.080.801296.06528.62908.881.13-0.331089540.082.351600.06781.53294.082.28+0.0749645.183.902034.07039.23783.983.75+0.15225750.185.102510.07242.04263.585.19-0.0981n =7工x =i245.5工y =i566.00工x 2 =i9340.8工y 2 =i45826工x y =i i20060.8工V 2 =
10、i2845X10-4根据表2中所求得的数据，代入公式(12)则可得：77 x 20060.8 - 245.5 x 566.001472.6a = k = 0.287880/0C7 x 9340.8 - (245.5)25115.35R = b = 566.00 - 0.28788 -2455 二 70.760780 077把测量数据代入式（13）和（15）中可求出相关系数I 工 x 2 -丄(工 x )2-工 y 2 - !(Eiy )2i20060.8 - 245-5 X 566-00.9340.8- ?455ix(45826- (566)i77X2 -丄(工X )2i n i歹= 0287
11、88 x厶y2 -_(乙y )2in i1 9340.8 - (245.5)27= 0.9975745826 -(566.00)27说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R的有效数字与R对齐，即R=70.76；又因为t7t 31.0 C，R -R = 8.80 ，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3 位，则k7 = 0.288 / C。由此可以得到电阻与温度的相关关系为：R 二 70.76 + 0.288ttS 二 S = J yR工2845 x 10-4 二 0.239(0)n 一 27 一 2按补充资料中的公式计算k和b的不确定度，可得0.239S = S kS(工 x)2 厶X
12、2 iI i n=0.239 x 0.03699 = 0.0088(0 / C) 严8 警x29340 8二 S 匚二 0.0088 x二 0.33(0)讥n.7故 R 二(70.76 土 0.33)0 二(70.8 土 0.3)0， 0a = (0.2879 土 0.009)0 / C = (0.288 土 0.009)0 / CR 二 70.8 + 0.288ttR0则参考文献：最小二乘法与测量平差 近代最小二乘法 最小二乘法的拟合及其应用 最小二乘法的创立及其思想方法1.2.3.4.郭禄光，樊功瑜著 同济大学 测绘 1980邓亮章教育学院学报2012.11贾小勇，徐传胜，白欣 西北大学学报2006.61985
