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1、立足数学本质，提高教学效率抛物线平移问题教学课例柳市镇第六中学 陈蓉蓉一、背景与主题“实施素质教育”，“减轻中小学课业负担，提高学生综合素质”,这给当前的教育改革明确了目标，指明了方向。进入初中新课程以来，如何在保持原有传统教学的优势的基础上，全面落实新课程理念，实现教学的“轻负高质”，是目前摆在初中数学教学面前的难点。为此，我和几位同事，一起围绕“立足数学本质，提高教学效率”这一主题，以抛物线平移问题为载体，进行课例研究.现将我的设计、实录、研讨、反思等一系列过程给予呈现，供同行交流与探讨。二、磨课过程：【第一次课堂教学实录】片段一：【出示ppt】：生1：开口向下，对称轴是直线x=1，顶点顶
2、坐标为（1,4）生2：与x轴交点（-1,0），（3,0）与y轴交点（0,3）生3：有最大值，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小师：你们太棒了，非常有水平，如生1、生2，这些不是一眼就能看出来。本题是开放题，结论还有很多，同学们可以在课后继续研究。【研讨】引入部分虽是开放题，能够发散学生的思维，集中所有学生的注意力，复习了二次函数的知识点，但与平移内容不是直接关系，并且这个开头太多地方出现过，不够新颖。师：当点D向右平移一个单位，则点A、B、C、E将有怎样变化？生：（齐回各）都一样，向左平移一个单位。师：如果将这些点连接起来，是什么图形？生：抛物线。师：抛物线
3、的移动的实质是什么？生：沉默。师：抛物线平移的实质是点的平移，今天我们一起来学习二次函数的平移。【研讨】把“抛物线的平移的实质是什么？”这个问题直接抛出来，学生答不上来，有点冷场。老师应循循善诱，慢慢的引出抛物线平移的实质是点的平移。片段二：【PPt出示第1题】：生1：y=-（x+1）2+4【PPt出示第2题】（学生思考1分钟）生1：将抛物线y=-x2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到？师：你是怎样想到的？生1：先将一般式转化为顶点式，在进行平移。师：还有不同的方法吗？（沉默片刻）生2：将抛物线先向上平移4个单位，在向右平移1个单位。师：对吗？生：（齐答）对师：抛物线平移和平移的先后顺
4、序有关吗?生：没有【PPt出示思考】：在平移过程中，你有什么发现？生：沉默。师：想象抛物线在平移。生1：开口方向，形状大小不变，位置发生变化。师：在平移过程中，解析式有什么变化吗？（在黑板上写出y=a（x+m）2+k）生：沉默片刻。生2：m、k变，a不变师：根据刚才的探索，你对抛物线平移时解析式的变化规律有何认识？生：沉默师：当左右平移时，解析式中括号内有什么变化？生3：左加右减。师：规律呢？生3：左加右减，上加下减。【研讨】：从简单的第1题着手，使基础较差的学生也参与到学习中去；但好像只为了练习而设置，体现不出图形的变化情况。同时，这样提问学生一下子难以回答，出现冷场现象。片段三【PPt出示
5、例题】：生：（思考5-6分钟）师：（指定一位用常规作法的学生上台板演）。生1：解：设向下平移k（k0）个单位，则y=-（x-1.5）2+4-k 把（0，0）代入，得0=（0-1.5）2+4-k解得k= y=-（x-1.5）2+师：请这位同学讲解一下自己的解题思路。生1：先将一般式转化为顶点式，再根据平移规律。师：你这个减k表示什么意义？生1：由于向下平移若干个单位，所以设减k。师：非常棒。师：还有其他解法吗？生2：（板演） 解：由题意得： y=-（x-1.5）2+4 y=-x2+3x+ 抛移后经过原点 y=-x2+3x。师：太有才了！还有其他方法吗？师：当平移后的抛物线经过原点时，可知哪些量？
6、生3：与x 轴一个交点为（0，0）对称轴为直线x=1.5生4：与x轴的另一交点为（3, 0）生5：可以用交点式求师：对了（y=-（x-0）(x-3) 即y=-x2+3x）师：，若解析式为一般式y=ax2+bx+c，只需要确定系数a、b、c。本题已知哪些系数？生：a=-1 c=0师：那怎样求得b呢？生6：（思考片刻）有对称轴就可以求得b了。师：对啦（=1.5，a=-1，b=0.3）师：本题是一个平移问题，利用顶点式设元是通法；但本题根据其特殊点原点，可以用特殊方法解题。【研讨】：生2的方法刚开始没想到，是否还有其他方法，必须再研究。最后归纳时思路不清晰，有待整理。片段四【PPt出示】：学生思考5
7、-6分钟，再请一位学生讲解解题思路。【研讨】：在学生分析后，感觉此题作为拓展提高题意义不大。片段五【PPt出示】：【反思】：在上课的过程中，除了研讨中出现的问题外，感觉整堂课的学习气氛不是很浓，学生参与热情不高；整堂课我只关注对知识和技能的复制，只重视结论的记忆，并不重视知识的发生，发展过程，无视学生思维的主体性，没有真正做到立足于数学本质。针对这些现象，我做了以下修改：1将“说一说”改为“画一画”。2将“想一想”中删掉了第1题，并增加动态演示。3将“用一用”中的题目重新设计。在第二次上课时，有幸得到了教授级高级教师，温州名师徐丹阳老师指导，徐老师首先肯定了“立足数学本质”这一主题，指出了立足
8、数学本质，有利于知识的正迁移，如掌握了二次函数图像平移的实质，就掌握了一次函数、反比例函数以及高中中其它函数的平移；并指出在中考复习的最后阶段，夯实基础是非常重要的，所以本节课为基础知识复习课，但是在设计教学目标时一定要有深度，不要就事论事，缺乏对题目的深度挖掘，并在设计上做了适当的调整。【第三次课堂教学实录】片段一【展示几何画板】：师：抛物线y=-x2是最简单的抛物线，如果我想把这条抛物线平移到y=-（x-1）2的位置，该怎样移？生1：向右平移1个单位师：对啦。若得到蓝色这条抛物线，应该怎样平移？生2：向左平移一个单位？师：此时的解析式是怎样的？生2：y=-（x+1）2师：你是怎样得到的？生
9、2：迟疑了一下。师：观察y=x2y=-（x-1）2的变化，想想看。生2：抛物线向右平移时，对称轴为直线x=1；向左平移时，抛物线对称轴为直线x=-1.师：对，此时解析式括号内有何变化？生2：噢，向右为减，向左为加师：抛物线平移规律为？生2：左加右减，上加下减。师：在这平移过程中，你有什么发现？生1:形状大小不变，开口方向不变。师：还有吗？生2：位置发生变化。师：补充的很及时。此时解析式有什么变化和不变？ （写出y=a（x+m）2+k）生：a不变，m、k变了。师：如果我把y=-（x-1）2+2的图像平移到y=-x2的位置上？应怎样移？生：向左平移1 个单位，向下平移2个单位。师：在平移过程中，我
10、只将顶点移动点O，则整条抛物线都移动相同的距离，为什么？生：沉默。师：这是个非常深奥的问题哟。抛物线是由什么图形组成？生：点组成。师：对啦！抛物线由许许多多的点组成。抛物线移动时,其图像上所有点移动的方向和距离是怎样的？生：所有点移动的方向和距离相同。师：所以，我们在研究抛物线平移时，往往只需要抓住一些特殊点就可以了，关键抓哪些点呢？生：顶点。师：非常正确，所以抛物线的平移，它实质是点的平移，关键转化为顶点的平移。【设计意图】：用几何画板演示，能直观的显示抛物线平移的规律, 让学生感悟到抛物线的平移，其实质为点的平移。在抛物线不断变化的过程中，解析式中的m k也将随之不断变化，使学生充分体验了
11、抛物线的平移中的数形结合思想。片断二:【PPt展示小游戏】：师：现在需要3位同学参与游戏活动，两位同学上台，第三位同学站在自己的位置上，按照游戏规则进行操作，其他同学当裁判，判断上台的两位同学所写的和所操作的是否正确。生1：报顶点坐标。(报5个顶点坐标)生2：拖动抛物线。生3：在黑板上写出相应的解析式。师：刚才B同学操作的和C同学所写的正确吗?生：正确。师：老师心里也痒痒得，也想出题了，老师出一个有难度的题目来考考你们。抛物线y=-x2+2x+3是有抛物线经过怎样的平移得到的？生：思考1分钟生1：将抛物线y=-x2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位。师：对吗，同学们？生：对。师：你是怎样想
12、到的？生1：先将一般式转化为顶点式。再按平移规律。师：非常正确。师：刚才的游戏，我们既从形上去体验了抛物线的平移，又从数（解析式）上感悟了平移变化过程的实质就是点的平移。【设计意图】：本小游戏学生自己设计，把学习的主动权交给学生，有利于充分调动学生的学习积极性和课堂气氛，使全体学生都参与到学习之中。同时又及时巩固平移的本质和规律，很好地体现了数形结合的数学思想方法。片断三【PPt展示例题】师：（先让学生读题）师：哪位同学说说本题的已知条件，隐含条件？生：已知条件是抛物线y=-x2+2x+3；向右平移0.5个单位；隐含条件是经过原点；a=-1师：（让学生独立思考56分钟，并指定用不同方法的两位学
13、生上台板演）生1：解：y=-（x-1.5）2+4-k 0=（0-1.5）2+4-kk= y=-（x-1.5）2+师：请这位同学讲解一下自己的解题思路。生1：先将一般式转化为顶点式，再根据平移规律。师：你这个减k表示什么意义？生1：有此题意知向下平移若干个单位，所以设减k。师：非常棒，但书写格式要注意（将学生的书写格式完善）师：还有其他解法吗？生2：解：由题意得： y=-（x-1.5）2+4 y=-x2+3x+ 抛移后经过原点 y=-x2+3x。师：太棒了！还有其他方法吗？师：再现引入中的图像动态演示，当平移后的抛物线经过原点时（如图），可知哪些量？生3：与x 轴一个交点为（0，0）对称轴为直线
14、x=1.5生4：与x轴的另一交点为（3, 0）生5：可以用交点式求 师：对了（板书y=-（x-0）(x-3) 即y=-x2+3x）师：在求解析式时，若为一般式y=ax2+bx+c，只需要确定系数a、b、c。本题已知哪些系数？生：a=-1 c=0师：那怎样求得b呢？生：（思考片刻）有对称轴就可以求得b了。师：对啦（板书：=1.5，a=-1，则b=0.3）师：本题是一个平移问题，利用顶点式设元是通法；但本题根据其特殊点原点，可以用特殊方法解题；且对称轴是三种解析式互相转化的桥梁。由此更深挖掘时可得：左右平移可决定系数b，上下平移可决定常数c 。【设计意图】：根据通法解题，再次凸显抛物线平移的实质是点的平移，解题的关键是抓住顶点。同时本题一题多解,使数学充满着浓厚的趣味性和挑战性,激发学生的学习兴趣，使本节课达到高潮。片段四【PPt出示】学生思考5-6分钟，再请一位学生讲解解题思路。片段五【PPt出示】【反 思】：
