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1、1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题 零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数涉及标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表达一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的允许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表盼望值，在生产部门无特殊规定期，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要拟定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，假如产品参数偏离预先设定的目的值，就会导致质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制导致本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给
2、出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作）由七个零件的参数（记作）决定，经验公式为：的目的值（记作）为1.50。当偏离时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当偏离时，产品为废品，质量损失为9000（元）；零件参数的标定值有一定的允许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表达，A等为，B等为，C等为.七个零件的参数标定值的允许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表达五此等级零件）：标定值允许范围C等B等A等0.075,0.125/25/0.225,0.3752050/0.075,0.12520502000.075,0.125501005001.125,1
3、.87550/12,2010251000.5625,0.935/25100现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为，；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑偏离导致的损失和零件成本，重新设计零件参数（涉及标定值和容差），并与原设计比较，总费用减少了多少?B题 截断切割某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这 里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面提成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的相应表面是平行的），通常要通过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不
4、管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工顺序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺规定，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 具体规定如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平
5、方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 = e = 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。模型建立一符号说明：产品零件参数的标定值；：第i个零件的标定值；：第i个零件的标定值取值的上、下界；：产品零件参数的实际值；：产品性能参数的目的值；：产品性能参数的经验公式；即：产品性能参数的平均值；：产品性能参数的实际值；：第i个零件的相对容差（绝对值）；：第i个零件的容差，；： 第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，； 第1，2，3个容差分别表达C，B，A等级；：变
6、量，；, 假如第i个零件参数取第j个容差等级时取值1，否则为零；：第i个零件参数（的实际值）的均方差；：产品质量性能参数（的实际值）的均方差；：产品的生产成本；：产品的损失费用；：产品的生产成本与损失费用之总和。二关于零件参数的假设在第i个零件取定其标定值为后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值可当作是服从正态分布的随机变量，即并且设七个零件的加工过程是互相独立的。概率记录学告诉我们，假如某个随机变量服从正态分布则由“3”原则，有所以，当规定第i个零件取定其标定值为，第i个零件的容差为，则意味着于是即当第i个零件的标定值，容差等级（C
7、，B，A，既第i个零件的相对容差）拟定后，第i个零件参数的实际值所服从的正态分布就完全拟定了。三关于产品参数的分布 当七个零件的标定值，容差等级（C，B，A，即每个零件的相对容差）拟定后，为拟定产品性能参数的分布规律与求产品质量的损失费用，现在讨论的分布情况。 由于产品性能参数的经验公式非常复杂，直接得出的精确分布有困难。对此有两种办法： 用随机模拟的方法在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值和任意一组容差等级，产生n组互相独立的正态分布随机数 其中七个零件参数中的每个 都是服从正态分布， 的随机数。由经验公式得到产品性能参数的n组（n很大）相应的样本值 ， 画出直方图，并用检查法检查是否服
8、从正态分布，并拟定的分布的有关特性数字。例如，取n = 10000时, 的直方图与是否服从正态分布的检查 具体见 ytest1 和 ytest2。 用理论方法推导在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值和一组容差等级，记 ，表达产品性能参数的平均值。产生零件参数的实际值，由经验公式得到产品性能参数的一组相应的值由于， 所以即由于，服从互相独立的正态分布，所以也服从正态分布，并且对上式两边取方差，得于是产品性能参数也近似服从正态分布，即至于近似服从正态分布的误差有多大？ 我们后面再讨论。三目的函数由原问题规定，建模的目的函数应涉及产品零件的的生产成本与质量损失费用两部分。 生产成本当零件的标定值
9、与零件的容差拟定以后，零件的的生产成本就完全拟定了，为其中是第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，；， 第1，2，3个容差分别表达C，B，A等级；而为变量，假如第i个零件参数取第j个容差等级时取值1，否则为零，并且，还要注意到对每个，对容差等级来说，不一定都能取到； 质量损失费用质量损失函数为。 由上一段，服从正态分布，即 其密度函数为 所以（）正品的概率 ；次品的概率 ；废品的概率 。再由标准正态分布分布函数与一般正态分布分布函数分布函数之间的关系：有 同理和 从而1个产品的平均质量损失费用其中为标准正态分布分布函数。于是整个优化问题模型为 （1.1） s.t. ，并且其中 。注记：模型
10、中的函数是标准正态分布分布的分布函数。严格地说，这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的、目的函数高度非线性的非线性规划问题。模型求解一模型I计算思想 （1.1）s.t. ，并且 其中 。模型中的函数是标准正态分布分布的分布函数。这个带变量上下界约束与整数变量的、目的函数高度非线性的非线性规划问题如何求解呢？注意到（1.1）中，一当第i个零件的相对容差或第i个零件的容差：拟定以后，零件的生产成本就拟定了，即这时不管零件的标定值在标定值取值范围中怎么取，生产成本都是不变的，为。所有七个零件的相对容差只有种组合。对所有108种情况可以逐次去计算；实则上108种情况可以再简化。从零件参数的标定值及不
11、同容差等级的成本（元）如下表（符号/表达五此等级零件）：标定值允许范围C等B等为A等为0.075,0.125/25/0.225,0.3752050/0.075,0.12520502000.075,0.125501005001.125,1.87550/12,2010251000.5625,0.935/25100容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表达，A等为，B等为，C等为.七个零件的参数标定值的标定值有一定的允许变化范围；可见，A等（为）是不也许取到的。用模拟的方法也可以拟定，平均每个产品的生产成本一般在200-300之间，而损失费用为150上下。如此，A等成本费用中200与500的
12、费用太高，所增长的成本费用是损失费用无法填补的，从而是不也许取到的。于是容差等级总共不超过种。考虑到100费用仍然也是难以填补的，事实上，还应当是种情况。拟定了一种容差方案后，上述问题实质上化为 （1.2）s.t. 其中 ， 。已经拟定。二、编程实现技术细节1. 容差等级、生产成本 与 标定值区间R=0.10 0.05; % 容差等级，最贵的一种舍去！cost=inf 25 % 选定容差以后的生产成本费用 20 50 20 50 50 100 50 inf 10 25 inf 25;A=0.075 0.125 0.225 0.375 0.075 0.125 0.075 0.125 0.125 1.875 12 20 0.5625 0.9375; % 标定值区间2. 怎么选定容差等级用i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7表达选定的容差等级，值都在1，2中选择，并且i1=2，i5=1，i7=2。 于是所有容差等级的循环是4重循环。从而选定的第k个零件的容差等级为r（ik）= R（ik）而相应的成本费用为cost(k,ik)所以，这个产品的生产成本为Cy = cost(1,i1) + cost(2,i2) + cost(3,i3
