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1、必修二 第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率
2、不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（
3、b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为直线的方程1. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 A、B、C三点共线，kAB=kAC，化简得a2+ab+
4、b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为（ ）A. B.C. D.答案D3.求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； 解 当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x, 即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方
5、程为x+2y+1=0或2x+5y=0.4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程. 解 方法一 设直线l的方程为（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m
6、的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.kAP=-2，kAQ=，则-或-2，-m且m0.又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，所求m的取值范围是-m.方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-. 由已知-1-2, 解得-m.两直线方程例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1l2时，求a的值.解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-
7、1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时，两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-160,l1l2a=-1,故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由=-1a=.方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.例3 已知直线l过点
8、P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由,解得A.8分由,解得B, 由两点间的距离公式，得+=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1. 方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,
9、x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或, 10分由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，故所求的直线方程为x=3或y=1.例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由 知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一点P（x,y）
10、,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.直线与方程1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为+45，则（ ）A.0180B.0135C. 0135D. 0135 答案 D2.曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A.30B.45C.60D.120答案 B3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则
11、m的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为（ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案 A5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三点共线.例2已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1x1).试求
12、：的最大值与最小值.解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值为8，最小值为.例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a0，则设l的方程为，l过点（3，2），a=5，l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为
13、2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直线l的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2. tan=3,tan2=-.又直线经过点A（-1，-3），、因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例4 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1),由已知可得（1）2=1，ab8.SAOB=ab4. 当且仅当=,即a=4,b=2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. 6分（2） 由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=.当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴
