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1、第7章 逻 辑 71逻辑思维概述 思维活动和一切事物一样，是有规律的。逻辑思维的基本规律概括地表现了逻辑思维的一般特征，普遍地适用于各类逻辑形式，因此，它是人们在运用概念、判断、推理等思维形式思考问题时必须遵守的思维规律。逻辑思维的基本规律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。 逻辑思维的基本规律是客观世界相对稳定性在思维活动中的反映，是进行正确思维的必要条件。它们的共同要求是在思维过程中，必须保持思维的确定性，不自相矛盾，不含糊其词。在数学教学过程中，使学生学会遵守这些思维的基本规律，掌握并运用这些规律进行m确思考，做到概念明确，判断恰当，推理有逻辑性，论述有说服力，址使学卜学好数学基础知识
2、，培养与发展其数学能力的基本前提与有效途径。 72逻辑思维种类 为什么说同一律、矛盾律、排中律和充足理由律是逻辑思维的基本规律呢?这是由于它们决定着正确思维所必须具有的确定性、无矛盾性和明确性等特征。思维的确定性表现为概念、判断和自身等同，这是同一律的要求；思维的无矛盾性表现为分析思考过程中的前后一致，不自相矛盾，这是矛盾律的要求；思维的明确性表现为在两个互相矛盾的判断中排除中间的可能性，不能模棱两可，这是排t卜律的要求。如果在进行逻辑思维时不遵守这些规律，思考过程中就必然会出现游移不定、自相矛盾和含混不清。721 同一律 同一律是指在同一思维过程中，每一思想都必须与其自身保持同一。也就是说，
3、在同一论证过程中，概念和判断必须保持同一性，亦即确定性，它的公式是“A是A”。 这里的“A”指概念或判断。“A是A”是说在同一思维过程中，A这个概念或判断无论重复或使用多少次，自身始终不变，前后一致，保持确定。 在数学思考过程中，必须遵守同一律，否则会造成逻辑混乱或错误。例如“整除”的概念是说，“数日除以数6，除得的商正好是整数而没有余数，就说口能被6整除”。这一概念的组成部分是，被除数是整数；除数是整数；商是整数；余数是0。 因此，由459=5，商是整数，余数为0，从而可以断定45能被9整除。 但是由4509=5，商是整数，余数为O，也断定45能被09整除就错了。 这是由于前一个判断与其组成
4、部分是同一的，而后一个判断与其组成部分不同，c!1被除数和除数不是整数和自然数。因此，后者是错误的判断，其根本原因是混淆了“整除”与“除尽”这两个不同的概念。 同一一律要求的同是对象、时间、关系三者的同。若针对同一对象，在不同时问或不同关系下，人们使用的概念或判断发生了变化，这不能看成是违反了川律，丽是属于时间不同或关系不同的两个思维过程。 l。时间不同的两个思维过程 例如，在小学阶段“数”是指“自然数和零”、“非负有理数”；而在中学阶段“数”是指“有理数”、“实数”、“复数”。 再如，在小学阶段“两个数的差是唯一的”，而在中学阶段“两个数的差不唯一”。 以上两个例子中的概念和判断虽然都发生了
5、变化，但它们显然属于时问或阶段不同的两个思维过程，因此不能说成是违反了同一律。 2关系不同的两个思维过程 例如，对“平行四边形”来说，“矩形”是种概念，而对“正方形”来说，“矩形”又导属概念。同样都是“矩形”，而得到的却是“种概念”和“属概念”两个不同的判断。这是由于两者所对应的关系不同，因此也不能说成是违反了同一律。722 不矛盾律 不矛盾律是指在Iq-思维过程中，一个。lt$。171-,L,。w。疋El自身又是对自身的否定。它的公式是“爿不是才t,o这里“爿指概念或判断。“才”(Ib-彳)表示对爿的否定。“彳不是才是指在同一思维过程中，两个不同的概念不能反映同一对象，或者在同一论证过程中，
6、对lq一对象的两个互相矛盾(对立)的判断不能同时成立，其中至少有一个是假的。 在数学思维过程中必须遵守不矛盾律。例如，两个数相等与不相等不能认为同寸成立，两直线相交与不相交也不能认为Iqi-,：i一成立。因为根据不矛盾律，两数相等与不相等，其中必有一个判断是错误的。两直线相交与不相交，其中电必有一个判断是错误的。 还要指出，在同一思维过程中，对某一对象除了两个互相矛盾的判断外，还可能有第三种判断。因此不矛盾律指出，不仅这两个矛盾(对立)的判断不能同真，还可能两个判断都为假。 例如，对某一实数以，除了两个互相矛盾的判断“口0”或“a0”和“口6”或“口6”外，还可能有第三种判断“以：6”。724
7、充足理由律 充足理由律是指任何真实判断，都必须有充足理由作为依据。也就是说，正确的判断必须有充足理由。它的公式是“彳真，因为B真并且B能推出爿”。 在数学学科中，充足理由律要求我们必须以数学的己知概念和公理以及由此推导出来的定理、公式作为根据进行推理判断。 解答数学问题进行正确判断也必须有充足的理由，否则会造成错误。 侈0女f，设臼=6(0) 两边乘以口得订。=动 两边减去6。得日。6。：臼66。 两边因式分解得(臼+6)(a一6)=6(口一6) 两边除以f口一6)得口+6=6 由口=6(0)得26=6 两边除以6得2=l 显然，所得结果是错误的，错误的原因在于以(a一6)除等式两边。因为由d
8、：6推出口一6=0，用0除等式两边，理由就不充足了。725逻辑思维基本规律之间的关系 逻辑思维的四条基本规律之间有着相互密切的联系，都是保证思维正确的必要条件，它们分别从同一思维过程中对同一事物从不同的角度来要求人们的思维具有相对的稳定性。 同一律“A就是A”，是从肯定的方面确定事物的某一特征，从而要求思维过程中的对象必须有确定性。 矛盾律“A不是万”，是从否定的方面来确定事物的某特征，即从否定的方面来肯定同一律，它要求思维过程中的判断不能自相矛盾。 排中律“或是A，或是才”，是对两个矛盾关系的判断从肯定和否定两个方面来肯定同一律。排中律是矛盾律的继续，都是为了保证思维的明确性。 充足理由律是
9、对某一明确的判断，在确定的、没有矛盾的基础上，指出其正确的充足理由。因此，一切违反同一律、矛盾律和排中律的思维过程，必然导致违反充足理由律。- 73违反逻辑思维基本规律的错误731违反同一律的逻辑错误 遵守同一律就是在同一思维过程中，所使用的概念或判断必须保持确定，保证这种确定性是进行正确思维和表达思想的必要条件，它是各种逻辑思维形式都必须遵守的最基本的规律，不论是概念要明确，判断要准确恰当，还是推理要合乎逻辑，都离不开思维确定性的要求。因此，违反同一律的逻辑错误是“同一思维过程中的概念、判断不确定”，具体表现是“偷换概念”(或者叫“混淆概念”)和“偷换论题”(或者叫“转移论题”)的逻辑错误。
10、 1同一思维过程中，概念不确定的逻辑错误 所谓概念不确定是指概念的内涵、外延不同一。就是说，在同一思维过程中，不加说明地用一个完全不相同的概念去代替原有的概念进行推理和证明(即“偷换概念)，或者用一个相近、类似的概念去代替原有的概念进行推理和证明(即混淆概念)。 例如，当被除数和除数的末位有零时，有的学生利用商不变性质进行如下计算 84050=845=164 (：l：) 我们知道84050=845，845=164这两个等式都是成立的，但84050164 (。)式中前面一个等式反映的是等号两边算式的商相等，而后一个等式则是反映算式中被除数、除数、商和余数之间的关系，这是两个完全不同的概念，这里出
11、现错误是由于“偷换概念”，违反了同一律所致。 2N一思维过程中，判断不确定的逻辑错误 判断不确定是指判断的组成部分不同。一，即在同一思维过程中，不加说明地用”一个完全不同的判断去代替原有的判断。如前面提到的由4509=5，商是整数，余数为0，从而断定45能被09整除就是这方面的例子。 判断不确定的另一种情况是，在同一思维过程中，判断的论题不同一。如讲长方形的周长概念时，有的教师对学生说：“长方形的一周，就是长方形的周长。”并用手指沿着长方形的黑板画一圈。在推导公式时又说：“长方形四条边的和，就是长方形的周长。”其实，长方形的周或四条边都是形，都没有涉及到量。“边长”、“一周的长”说的才是最，而
12、量是要通过度量才能知其大小。边与边长、一周与一周的长是性质完全不同的概念，不能混淆不清，这属于“偷换论题”的错误，在小学数学教学中是比较常见的。 例如，从直线外一点到一条直线所画的垂线段叫这点到这条直线的距离。 题中定义的概念是符合某一条件的一条线段，而被定义的概念却是“距离”。 “线段”是几何图形，“距离”却是度量的长度，形与量不同一。 7_32违反矛盾律的逻辑错误 矛盾律要求在同一思维过程中，两个不同的概念不能反映同一对象，或两个相互否定的判断(矛盾的或对立的)不能同时成立。 因此违反矛盾律的错误就是既肯定又否定，即两个相互否定的判断都成立，我们熟知的古代寓言楚人“白相矛盾”就是这种情况。俐由n角的十，I、E；由自白托拓沿右芏乏通用小学数学教材对角的描述是“从一点引出两条射线，就组成一个角”。而后面又说“角的大小同边的长短没有关系”。既然“角的边是射线”，射线本无长短可言，角的边又哪来的长、短呢?一方面说“角的边是射线”，同时又说“角的大小与边的长短没有关系”，对“角的边是射线”加以否
