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1、直线的另一种设法贵州省凯里市第一中学 556000 贾士伟摘要 在讨论直线和圆锥曲线位置关系时,常会设出直线的方程,而直线方程的设法通常采用点斜式(斜截式),本文介绍另一种直线的设法,并将两种设法进行比较。关键词 直线和圆锥曲线 直线方程的设法 点斜式 在解析几何里面经常会碰到直线与圆锥曲线的位置关系的题目,解决这类问题的基本方法是设出直线的方程,然后与圆锥曲线的方程联立得出根与系数的关系,体现的是一种“设而不求”的思想.在实际做题中设直线的方程我们通常采用斜截式,这种设法忽略了直线斜率不存在的情况,需要单独讨论.在这里我将介绍直线的另一种设法,并通过实例比较两种设法的优劣.例1.(09全国)
2、已知椭圆:的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为.()求的值;()上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的的坐标与的方程;若不存在,说明理由.解法1:(直线的设法采用)()容易求得过程略.()上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由()知的方程为设()当不垂直于轴时,设的方程为将代入并化简得于是进而由题意:将带入椭圆方程有:解得因此,当时,的方程为当时,的方程为()当垂直于轴时,由知,上不存在点使成立.综上,上存在点使成立.此时的方程为解法2:(直线的设法采用)()同上()明显,当直线的斜率为0时,不存在满足题设条件的点.故可设
3、直线的方程为:,与联立有:由题意:将带入椭圆方程有:可解得上存在点使成立.此时的方程为在此题第二问中,很容易判断当直线斜率为0时不存在满足题设条件的点,采用这种设法避免了分类讨论,联立得到的方程也较为简单,简化了运算过程,对于争分夺秒的高考,无疑是一种可取的方法.下面这一些例题更突出了“”的优越性.例2.过的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右焦点,求面积的最大值,以及取得最大值时的直线的方程.分析:通法是求出弦长,以及边上的高.解法1:(直线的设法采用)(1)若直线的斜率不存在,则为,容易求得;(2) 若直线的斜率存在,设,为,与联立得综上可知当为时,取得最大值,最大值为解法2:(直线的设法采用)设为,与联立得 为,到的距离:(当时取等号)此时的方程为:对比两种解法直线方程采用的形式,不但避免了分类讨论,联立所得方程简洁,在处理最值时也容易得多,降低了题目难度,简化了运算量,大大提高了运算速度. 适用于斜率存在的直线,适用于斜率不为0的直线,在解题中若能灵活选取直线的设法,可以避免分类讨论,简化计算过程,降低题目难度.有兴趣的读者可以尝试用上面两种方法解决下面的问题:1.设坐标原点为,抛物线与过其焦点的直线交于两点,则的夹角为( )锐角 直角 钝角 无法确定答案:C.2.过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为,求证.