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1、第三章 线性系统的可控性与可观测性通过第二章的讨论，我们能够对一个给定的系统建立起状态空间表达式，并可在给定 初始条件和输入作用的情况下求出状态方程在时间域中的解，进而可确定系统的输出，即可 以进行系统的设计。为此，必须首先研究系统的可控性与可观测性问题。本章将介绍线性系 统的可控性与可观测性概念及其应用。第一节概述当采用状态空间法对控制系统进行设计时，首先要遇到系统的可控性与可观测性问题。一、为了实现最优控制必须使系统具有可控性和可观测性通常，系统设计的主要任务就是要设计出满足给定性能指标的系统。第二章讨论的多输 入一多输出系统的解耦问题也可以看成设计问题。但区别于经典控制理论的设计方法一一
2、试 探法，现代控制理论就是能以某个性能指标为目标设计一个最优控制器，使系统成为最优控 制系统。来自 I mmniiiiiimiminiiiiiimiii为了设计最优控制器，首先要判断通过系统的输入能否控制全部状态的变化。如果其状 态都无法控制，那根本谈不上最优控制了。其次为了实现最优控制就需要获得系统状态的全 部信息，这就需要判断通过观测系统的输出能否确定系统的状态。这就提出了系统的可控性 与可观测性问题。可见，判断系统的可控性与可观测性是进行系统设计的首要问题。二、经典控制理论中没有提出可控性与可观测性问题在经典控制理论中，系统的可控性与可观测性问题被掩盖了。图3-1示出了一个位置系 统，其
3、微分方程为(3-1)y + 2& y +2y = ku(t)系统的传递函数为G (s)=ks 2 + 2如 s + 2(3-2)(C川) G(s)图3-1位置系统图采用传递函数法时只研究输入u(t)与输出y(t)之间的关系。状态度量是位置y，观测 的输出也是位置y，输入u所控制的变量也是位置y。系统内部的其它状态都被掩盖了。而y往往既是可控的也是可观测的。因此在经典控制理论中并未提出可控性与可观测性的问 题。三、状态空间法提出了可控性与可观测性的问题1960年卡尔曼在研究状态空间法时发现了可控性与可观测性问题。还以图3-1及式（3-1） 所表示的系统为例，如果不是将微分方程表示成式（3-2）所
4、示的传递函数形式，而是表示 成状态空间表达式的形式，取状态变量为气=y,七=y，则其状态空间表达式为（3-3）X = AX + BUY = CX + DU式中,01 f 。-C IA =，B =，C = 10 1，D = 0， U = u- 2 - 2 & _|_1对比式（3-2）和式（3-3），并将其推广至有r个输入和m个输出的阶系统的一般情况可 以看出，采用传递函数法看不到系统的个状态工，工，工与r个输入U ,U，,U的关12n12r系;而对于状态空间法，由于采用了输入一一状态一一输出的这种信号分段传送的表示方法， 这就揭示了系统的状态变化。状态方程描述了输入作用引起状态变化的情况，这就提
5、出了一 个问题:输入对系统的状态是否都能控制？如果系统能够在输入作用下从一种状态达到另一 种状态，系统就是可控的；否则就是不可控的。输出方程描述了状态变化引起输出变化的情 况，这又提出了一个问题：系统的全部状态能否通过输出反映出来？如果系统的状态可以根 据输出的观测值确定出来，系统就是可观测的；否则就是不可观测的。这就明确地提出了系 统地可控性与可观测性问题。四、举例下面通过几个简单的电路例子来说明系统的可控性与可观测性问题的存在。【例3-1】图3-2示出一种如网络，并有%=气仁。系统的输入为电压u，系统的状态X = u，X为R与R两电阻上的电压，输出y = X。试判断系统的可控性与可 1 c
6、 2342观测性。络|%图3-2 RC网络【解】由简单的电路分析可知，改变u可以控制七。显然状态七是可控的与可观测的。 但是因为R /R = R /R，尤三0，即无论怎样改变u都无法改变X，因此X的状态是不1324111可控的。又因为观测J获得的观测值与气毫无关系，所以气的状态又是不可观测的。由于 系统的全部状态气、X2并非完全可控及完全可观测，所以该系统为不可控及不可观测的系 统。 搜【例3-2】图3-3示出了一种知网络，并有十如4= R2。系统的输入为，状态X1=UC1=UC 输出y=X 2，试判断系统的可控性与可观测性。图3-3 RC网络【解】由简单的电路分析可知，无论怎样改变U都不能使
7、七与X2不相等，即系统不可 能达到任意的工作状态，可见系统是不可控的。但是因为气=X：，观测输出y = X 2，便可 确定系统的状态气与X2，所以系统是可观测的。【例3-3】对于图3-4所示的系统，有下列四种不同的情况：1）以u为输入、以y为输出；2）以u为输入、以y为输出；3）以u为输入、以y为输出；4）以u为输入、以y为输出；试判断以上四种情况下系统的可控性与可观测性。图3-4控制系统【解】对以上四种情况分别进行讨论。（1）以u为输入、以y为输出由图3-4可以看出，输入u沿着箭头所示的信号传递方向无法到达并影响X2，即u与X2 无关，状态X2不可控，系统是不可控的。同理，气沿着箭头所示的信
8、号传递方向无法到达 并影响y，即y与气无关，状态气是不可观测的。因此以u为输入、以y为输出的系统是 不可控与不可观测的。络（2）以u为输入、以y为输出对于这种情况系统不可观测的性质与情况（1）相同。但由于输入u可以直接影响X2并可通过间接地影响气，所以系统是可控的。因此以为输入、以J为输出的系统是可控 与不可观测的。1(3) 以u为输入、以y为输出对于这种情况系统不可控的性质与情况(1)相同。而因为由y输出，气与七都可以影响y，所以以u为输入、以y为输出的系统是不可控与可观测的。1 2(4) 以u为输入、以y为输出对于这种情况系统的可控的性质与情况(2)相同，可观测的性质与情况(3)相同。因此
9、以u为输入、以y为输出的系统是可控的与可观测的。由以上分析可以看出，按照系统的可控性与可观测性可以将系统分成四种情况：可控与 可观测的系统；可控与不可观测的系统；不可控与可观测的系统；不可控与不可观测的系统。第二节可控性一、可控性的定义如果在有限实际区间10 t 七内，存在一个任意取值的控制u(t)，能使系统从初始状 态X(t转移到任何另一状态，则称此系统在10时刻的状态X(t为可控的。如果在有限时 间内，对任何t下的状态都可控，则称此系统是状态完全可控的。0从上述定义可知，系统的可控性问题是解决：当对系统施加一定的控制作用时，能否 使系统在有限的时间内从任一初始状态转移到希望的状态。对于线性
10、定常系统来说，如果在某一有限时间内状态可控，那么以任一时刻为初始时 刻的状态，在相应的有限时间内也必可控，也就是说，线性定常系统只要在某时间t = t 0是 状态可控，那么系统一定属于状态完全可控，而且由初始状态转移到目标状态的时间间隔， 也和初始时刻t的选择无关。0可控性是系统的一种内在性质，是系统在输入作用下其内部状态能够转移能力的标志， 它仅仅取决于系统状态方程中矩阵A和B的形态。二、线性定常系统可控性判别的第一种方法1、连续型系统连续线性定常系统的状态方程为X (t) = AX (t) + BU (t)式中X(t)为n x 1阶状态向量，U(t)为r x 1阶控制向量，A为n x n阶
11、矩阵，B为n x r阶矩阵。不失一般性，假设系统的初始状态为 X（t ）|0 t0=0=X（0）丰0，系统的终了状态为根据第二章式（2-60）可写出当当礼时的状态表达式X(t亍)=eAtX(0) + f e如广t)BU(t)dt考虑到X （tf） = 0，上式可变为X (0) =-e-Atf f eA(t广t)BU( T)dt = -L e-atBU(t)dt00(3-4)根据凯勒一哈密顿定理可知，对于阶系统可以用n项的矩阵展开式来表示e也的无穷项矩阵展开式，即eAt =a (t)I +a (t)A +a (t)A2 + + a(t)An-1 = a (t)Akk =0（3-5）由上式可得e
12、at = IB a (t ) A kk =0（3-6）式（3-6）中的e-妃与式（3-5）中的e割的展开式的形式相同，只是各系数的符号有所不同。将式（3-6）代入式（3-4）可得X(0)日AkBJo ak(T)U(T)dT（3-7）Lak （t）U（t）dt =久则方程（3-7）变为X (0)=笑A k Bp =B: AB A n-i Bk=00J Pi（3-8）PL n-如果系统的状态是完全可控的，那么对于任意给定的初始条件都应满足式（3 8）。因为P为rx 1阶矩阵，B: AB- An-iBJ为nxnr阶矩阵。则对于任何X（0）有解，即系统 k的状态完全可控的充要条件是nxnr阶可控性矩阵
13、Q = B:AB:-：An-1B为满秩，即Q的秩为n，即RankQ = RankB:AB:An-iB = n(3-9)从物理概念上看，可控矩阵Q的秩表示可以控制的状态变量的数目，Q 满秩即Q的 秩等于系统的阶数，就说明系统的状态是完全可控的。从控制工程的观点上看，可控性问题 实质上就是讨论调节的可实现问题。应该注意到，可控性矩阵Q只与状态方程中的矩阵A，B有关。只有当单输入时(片1时)，Q是nXn阶方阵。当多输入情况下(，个输入时)，Q并不是方阵，其阶数为n乂nr 阶，此时计算它的秩时，用下列关系式是较为方便的，即RankQ = RankB:AB 上 An-1B=Rank(B: AB:An-1
14、B)(B: AB:An-1B)t (3-10)式(3-10)右端矩阵是nx n阶方阵，计算方阵的秩是较为简单的。2、离散型系统离散线性定常系统的状态方程为X (k +1) = GX (k) + HU (k)式中X(k)为n x 1阶状态向量，U(k)为r x 1阶控制向量，G为n x n阶矩阵，H为n x r阶 矩阵。与连续型系统相类似，离散系统状态完全可控的条件是n x nr阶可控性矩阵Q = H:GH:Gn-1H为满秩，即RankQ = RankH:.GH :Gn-1H = n(3-11)下面通过几个具体实例来说明系统可控性条件的应用。【例3-4】对于例3-3 (参见图3-4)所给出的系统，判断系统的可控性。【解】由图3-4可知，对于所给的四种情况，其状态方程只有两种：一种是以为输入 时的情况；另一种是以u为输入时的情况。下面就来判断这两种情况下系统的可控性。(1) 以u为输入这时系统的状态方程为,X = X + X + uX = X写成矩阵形式得X -1X -=1+X c 0 1X c 0!_ 22-1由上式可得1A=
